Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是正方形，點E是BC邊上一動點（不與B、C重合）．連接AE，過點E作EF⊥AE，交DC于點F．

（1）求證：△ABE∽△ECF；
（2）連接AF，試探究當點E在BC什么位置時，∠BAE=∠EAF，請證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠B=∠C=90°，

∴∠BAE+∠BEA=90°，

∵EF⊥AE，

∴∠AEF=90°，

∴∠BEA+∠FEC=90°，

∴∠BAE=∠FEC，

∴△ABE∽△ECF；

（2）

證明：E是中點時，∠BAE=∠EAF，

理由如下：

連接AF，延長AE于DC的延長線相交于點H，

∵E為BC中點，

∴BE=CE，

∵AB∥DH，

∴∠B=∠ECH，

∵∠AEB=∠CEH，

∴△ABE≌△HCE，

∴AE=EH，

∵EF⊥AH，

∴△AFH是等腰三角形，

∴∠EAF=∠H，

∵AB∥DH，

∴∠H=∠BAE，

∴∠BAE=∠EAF，

∴當點E在BC中點位置時，∠BAE=∠EAF．

【解析】（1）有正方形的性質(zhì)和已知條件證明∠BAE=∠FEC即可證明：△ABE∽△ECF；（2）連接AF，延長AE于DC的延長線相交于點H，當點E在BC中點位置時，通過證明三角形全等和等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)即可證明∠BAE=∠EAF．
【考點精析】利用正方形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形；相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．