Question

觀察下列各式．
13=1=

1

4

×12×22，
13+23=9=

1

4

×22×32，
13+23+33=36=

1

4

×32×42，
…
（1）猜想填空：13+23+33+…+n3=

1

4

×

n

²×

（n+1）

²
（2）求1³+2³+3³+4³+5³的值．

Answer 1

分析：（1）觀察已知的幾個(gè)式子可以得到規(guī)律：等號(hào)的左邊是從1開(kāi)始的連續(xù)整數(shù)的立方和的形式，右邊是

1

4

與兩個(gè)數(shù)的平方的積，第一個(gè)是左邊的整數(shù)中的最大的一個(gè)，第二個(gè)是比這個(gè)數(shù)大1的相鄰的整數(shù)，據(jù)此規(guī)律即可求解；
（2）根據(jù)（1）的規(guī)律解答即可．

解答：解：（1）∵1³=1=

1

4

×1²×2²=

1

4

×1²×（1+1）²，
1³+2³=9=

1

4

×2²×3²=

1

4

×2²×（2+1）²，
1³+2³+3³=36=

1

4

×3²×4²=

1

4

×3²×（3+1）²，
1³+2³+3³+4³=64=

1

4

×4²×5²=

1

4

×4²×（4+1）²，
…，
1³+2³+3³+…+n³=

1

4

n²（n+1）²；

（2）1³+2³+3³+4³+5³=

1

4

×5²×（5+1）²=225．
故答案為：（1）

1

4

n²（n+1）²；（2）225．

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)數(shù)字變化規(guī)律的考查，正確觀察已知的式子的特點(diǎn)，得到規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．