Question

如圖，已知以AB為直徑的圓與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C、D兩點(diǎn)，A、C 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-1，0）、C（0，3），直線DE交x軸交于點(diǎn)E（-

9

4

，0）．
（1）求該圓的圓心坐標(biāo)和直線DE的解析式；
（2）判斷直線DE與圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)圓心為F，圓是半徑為r，連接CF，根據(jù)點(diǎn)A、C的坐標(biāo)表示出OC、OF的長(zhǎng)度，然后利用勾股定理列式進(jìn)行計(jì)算即可求出r的值，從而得到圓心的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法列式進(jìn)行計(jì)算即可求出直線DE的解析式；
（2）根據(jù)圓的對(duì)稱性可得點(diǎn)D的坐標(biāo)，連接DF，然后求出△DOE與△FOD相似，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等求出∠ODE=∠OFD，從而推出∠EDF=90°，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系即可判斷．

解答：解：（1）如圖，設(shè)圓心為F，圓的半徑為r，連接CF，
∵A（-1，0）、C（0，3），
∴OC=3，OF=r-1，
根據(jù)勾股定理，CF²=OC²+OF²，
即r²=3²+（r-1）²，
解得r=5，
r-1=4，
∴圓心坐標(biāo)為（4，0），
根據(jù)圓的對(duì)稱性，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，-3），
設(shè)直線DE的解析式為y=kx+b，
則

b=-3 - 9 4 k+b=0

，
解得

k=- 4 3 b=-3

，
∴直線DE的解析式為y=-

4

3

x-3；

（2）直線DE與圓相切．理由如下：
如圖，連接DF，
則OE=

9

4

，OF=4，OD=3，

OE

OD

=

9 4

3

=

3

4

，

OD

OF

=

3

4

，
∴

OE

OD

=

OD

OF

，
又∵∠DOF，
∴△DOE∽△FOD，
∴∠ODE=∠OFD，
∵∠OFD+∠ODF=90°，
∴∠ODE+∠ODF=90°，
即∠EDF=90°，
∴FD⊥ED，
又∵點(diǎn)D在圓上，
∴直線DE與圓相切．

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)一次函數(shù)的綜合考查，主要有勾股定理，待定系數(shù)法求直線解析式，直線與圓相切的判定，作出輔助線構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵．