Question

如圖① ，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=90^ｏ，AD⊥BC，垂足為D.
（1）S_△ABD =     .(直接寫出結(jié)果)
（2）如圖②，將△ABD繞點(diǎn)D按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△A′B′D，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為 ()，在旋轉(zhuǎn)過程中：
探究一：四邊形APDQ的面積是否隨旋轉(zhuǎn)而變化？說明理由
探究二：當(dāng)的度數(shù)為多少時(shí)，四邊形APDQ是正方形？說明理由.

Answer 1

（1）4，（2）①不會(huì)；②=45^ｏ

解析試題分析：（1）根據(jù)S_△ABD= S_{△AB C}結(jié)合三角形的面積公式進(jìn)行解答即可；
（2）①四邊形APDQ的面積不會(huì)隨旋轉(zhuǎn)而變化，因?yàn)闊o論旋轉(zhuǎn)角為 ()怎樣旋轉(zhuǎn)，始終是△BPD≌△AQD，即四邊形APDQ的面積等于S_△ABD；
②證得四邊形APDQ為矩形，又因?yàn)镈P=AP=AB，即可得出結(jié)論.
（1）S_△ABD=  S_△ABC= =4
（2）① 四邊形APDQ的面積不會(huì)隨旋轉(zhuǎn)而變化.
理由如下：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90^ｏ
∠B=∠C=45^ｏ
∵AD⊥BC
∴∠BAD=∠DAC=45^ｏ
∴∠B="∠DAQ=∠BAD" =45^ｏ，BD=AD
又∵∠BDP+∠ADP=90^ｏ，∠ADQ+∠ADP=∠PDQ=90^ｏ
∴∠BDP="∠ADQ"
∴△BPD≌△AQD
S_{四邊形APDQ}= S_△APD+ S_△AQD= S_△APD+ S_△BPD= S_△ABD =4
② 當(dāng)=45^ｏ時(shí)，四邊形ＡPDQ是正方形.
理由如下：

由（1）知△ABD為等腰直角三角形.
當(dāng)=45^ｏ時(shí)，DP⊥AB，即∠APD=90^ｏ
又∵∠A=90^ｏ，∠PDQ=90^ｏ
∴四邊形APDQ為矩形
又∵DP=AP=AB
∴四邊形APDQ是正方形.
考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形的面積公式，正方形的判定和性質(zhì)
點(diǎn)評(píng)：本題知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性強(qiáng)，難度較大，在中考中比較常見，一般以壓軸題形式出現(xiàn).