Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，在長(zhǎng)方形OABC中，點(diǎn)A(10，0)，C(0，4)，D為OA的中點(diǎn)，P為BC邊上一點(diǎn)．若△POD為等腰三角形，求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2.5，4)或(3，4)或(2，4)或(8，4)．

【解析】試題分析：由矩形的性質(zhì)得出∠OCB＝90°，OC＝4，BC＝OA＝10，求出OD＝AD＝5，分情況討論：①當(dāng)PO＝PD時(shí)；②當(dāng)OP＝OD時(shí)；③當(dāng)DP＝DO時(shí)；根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)或勾股定理即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

試題解析：解：∵四邊形OABC是長(zhǎng)方形，

∴∠OCB＝90°，OC＝4，BC＝OA＝10.

∵D為OA的中點(diǎn)，

∴OD＝AD＝5.

①當(dāng)PO＝PD時(shí)，點(diǎn)P在OD的垂直平分線上，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2.5，4)．

②當(dāng)OP＝OD時(shí)，如解圖①所示．

則OP＝OD＝5，PC＝＝3，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，4)．

①

③當(dāng)DP＝DO時(shí)，過點(diǎn)P作PE⊥OA于點(diǎn)E，

則∠PED＝90°，DE＝＝3.

分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)D的左側(cè)時(shí)，如解圖②所示．

②

此時(shí)OE＝5－3＝2，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，4)．

當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)D的右側(cè)時(shí)，如解圖③所示．

③

此時(shí)OE＝5＋3＝8，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(8，4)．

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2.5，4)或(3，4)或(2，4)或(8，4)．