Question

【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸相交于點(diǎn)A，B，與y軸相交于點(diǎn)C，直線y=-x-4經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）如果點(diǎn)P，Q在拋物線上（P點(diǎn)在對稱軸左邊），且PQ∥AO，PQ=AO，求P，Q的坐標(biāo)；

（3）動點(diǎn)M在直線y=-x-4上，且以C，O，M為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）P點(diǎn)坐標(biāo)（﹣2，﹣4），Q點(diǎn)坐標(biāo)（0，﹣4）；（3）M點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣，-），（﹣3，-1）

【解析】

（1）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得A、C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；

（2）根據(jù)平行于x軸的直線與拋物線的交點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱，可得P、Q關(guān)于直線x＝1對稱，根據(jù)PQ的長，可得P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得答案；

（3）根據(jù)兩組對邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似，可得CM的長，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得MH的長，再根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得答案．

解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=-4，即C（0，-4）；

當(dāng)y=0時(shí)，-x-4=0，解得，x=-4，即A（-4,0）

將A，C點(diǎn)坐標(biāo)代入，得

，

解得．

拋物線的表達(dá)式為．

（2）∵A（-4,0），

∴AO=4．

∵ PQ=AO，

∴PQ=AO=2．

又∵PQ∥AO，

∴ P、Q關(guān)于對稱軸x=﹣1對稱．

∴P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣1﹣1=﹣2，Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣1+1=0．

當(dāng)x=﹣2時(shí)，y=×（﹣2）2+（﹣2）-4=﹣4，

∴P（﹣2，﹣4）；

當(dāng)x=0，y=×（0）2+0-4=﹣4，

∴Q（0，﹣4）；

P點(diǎn)坐標(biāo)（﹣2，﹣4），Q點(diǎn)坐標(biāo)（0，﹣4）．

（3）由，得，

∴B（-2,0）

∵A（-4,0），C（0，-4）

∴OA =OC=4，OB=2．

∴A B=6，,∠ MCO=∠CAB=45o．

①當(dāng)△MCO∽△CAB時(shí)，，

即，解得CM=．

如圖，過點(diǎn)M作MN⊥y軸于點(diǎn)N，則．

當(dāng)時(shí)，，

∴M（，）．

②當(dāng)△OCM∽△CAB時(shí)，，

即，解得CM=．

同①可得，．

當(dāng)時(shí)，，

∴M（，）．

綜上所述：M點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣，-），（﹣3，-1）．