Question

如圖，已知以AB為直徑的圓與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C、D兩點，A、C 兩點的坐標分別為A（﹣1，0）、C（0，3），直線DE交x軸交于點E（﹣，0）．
（1）求該圓的圓心坐標和直線DE的解析式；
（2）判斷直線DE與圓的位置關系，并說明理由．

Answer 1

解：（1）如圖，設圓心為F，圓的半徑為r，連接CF，DF， ∵A（﹣1，0）、C（0，3）， ∴OC=3，OF=r﹣1，根據勾股定理得： CF2=OC2+OF2， 即r2=32+（r﹣1）2， 解得：r=5，r﹣1=4， ∴圓心坐標為（4，0）； 根據圓的對稱性，點D的坐標為（0，﹣3）， 設直線DE的解析式為y=kx+b， 則， 解得， ∴直線DE的解析式為y=﹣x﹣3； （2）直線DE與圓相切．理由如下： 如圖，連接DF， 則OE=，OF=4，OD=3， ==，=， ∴=， 又∵∠DOF=∠DOE， ∴△DOE∽△FOD， ∴∠ODE=∠OFD， ∵∠OFD+∠ODF=90°， ∴∠ODE+∠ODF=90°， 即∠EDF=90°， ∴FD⊥ED， 又∵點D在圓上， ∴直線DE與圓相切．