Question

（2010•資陽）如圖，已知直線l：y=kx+b與雙曲線C：y=

m

x

相交于點(diǎn)A（1，3）、B（-

3

2

，2），點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為P．
（1）求直線l和雙曲線C對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求證：點(diǎn)P在雙曲線C上；
（3）找一條直線l₁，使△ABP沿l₁翻折后，點(diǎn)P能落在雙曲線C上．
（指出符合要求的l₁的一個解析式即可，不需說明理由）

Answer 1

分析：（1）將A與B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式中，求出k與b的值，確定出直線l的函數(shù)解析式，將A的坐標(biāo)代入反比例解析式中，求出m的值，即可確定出雙曲線解析式；
（2）由P為A關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，由A坐標(biāo)求出P的坐標(biāo)，代入反比例解析式中檢驗(yàn)即可得證；
（3）由反比例函數(shù)關(guān)于y=x或y=-x對稱，故直線l₁為y=x或y=-x符合題意．

解答：解：（1）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入y=kx+b中，得：

k+b=3 - 3 2 k+b=-2

，
解得：

k=2 b=1

，即直線l的函數(shù)解析式為y=2x+1，
將A（1，3）代入反比例解析式得：3=

m

1

，即m=3，
∴雙曲線C對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=

3

x

；
（2）∵P為A關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，∴P坐標(biāo)為（-1，-3），
將x=-1代入反比例解析式中，得：y=

3

-1

=-3，即P符合反比例解析式，
則P點(diǎn)在雙曲線C上；
（3）直線l₁的解析式為y=x或y=-x．

點(diǎn)評：此題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，涉及的知識有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)的特點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．