Question

【題目】已知點(diǎn)M是等邊△ABD中邊AB上任意一點(diǎn)(不與A. B重合),作∠DMN=60，交∠DBA外角平分線于點(diǎn)N.

(1)求證：DM=MN；

(2)若點(diǎn)M在AB的延長(zhǎng)線上，其余條件不變，結(jié)論“DM=MN”是否依然成立?請(qǐng)你畫出圖形并證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）“DM=MN”依然成立，證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）在AD上截取AF=AM，證明△DFM≌△MBN即可；
（2）在AD的延長(zhǎng)線上截取AF=AM，證明△DFM≌△MBN即可．

（1）如圖1，在AD上截取AF=AM，

∵△ABD是等邊三角形，

∴∠A=60°
∴△AMF是等邊三角形，

∴∠AFM=60°
∴∠DFM=120°，

∵AB=AD，AM=AF

∴DF=MB，

∵∠ABD=60°

∴∠DBE=120°

∵BN是∠DBA外角平分線

∴∠DBN=60°
∴∠MBN=∠ABD +∠DBN =120°，
∴∠DFM=∠MBN，
∵∠DMN=60°，
∴∠BMN+∠AMD=120°，
∵∠A=60°，
∴∠FDM+∠AMD=120°，
∴∠FDM=∠BMN，
在△FDM和△BMN中，

∴△FDM≌△BMN（ASA），
∴DM=MN．
（2）點(diǎn)M在AB的延長(zhǎng)線上，如圖2所示，在AD的延長(zhǎng)線上截取AF=AM，

∵△ABD是等邊三角形，

∴∠A=60°
∴△AMF是等邊三角形，
∴∠DFM=60°，

∵AF=AM，AD=AB

∴DF=MB，

∵∠ABD=60°

∴∠DBE=120°

∵BN是∠DBA外角平分線

∴∠MBN=60°，
∴∠DFM=∠MBN，
∵∠BMN=∠AMD+∠DMN，∠FDM=∠A+∠AMD，
∠DMN=∠A=60°，
∴∠FDM=∠BMN，
在△FDM和△BMN中，

∴△FDM≌△BMN（ASA），
∴DM=MN．