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        1. 25、在△ABC中,AB邊的垂直平分線交直線BC于點D,垂足為點F,AC邊的垂直平分線交直線BC于點E,垂足為點G.
          (1)當∠BAC=100°(如圖)時,∠DAE=
          20°.
          °;
          (2)當∠BAC為一任意角時,猜想∠DAE與∠BAC的關系,并證明你的猜想.
          分析:(1)根據(jù)AB邊的垂直平分線交直線BC于點D,垂足為點F,AC邊的垂直平分線交直線BC于點E,垂足為點G可知∠B=∠BAD,∠C=∠CAE,再由三角形內(nèi)角和定理及∠BAC=100°列出關系式,求出∠DAE的值即可;
          (2)由于△ABC形狀不能確定,故應分∠BAC≥90°、∠BAC<90°兩種情況進行分類討論.
          解答:解:(1)∵AB邊的垂直平分線交直線BC于點D,垂足為點F,AC邊的垂直平分線交直線BC于點E,垂足為點G,
          ∴∠B=∠BAD,∠C=∠CAE①,
          ∵∠B+∠BAD+∠C+∠CAE+∠DAE=180°②,∠BAD+∠CAE+∠DAE=100°③,
          ①②③聯(lián)立得∠DAE=20°;(2分)

          (2)∠DAE=2|90°-∠BAC|(4分)
          或∠DAE=2∠BAC.(5分)
          即當∠BAC≥90°時,∠DAE=2(∠BAC-90°);
          當∠BAC<90°且∠B及∠C均為銳角時,
          ∠DAE=2(90°-∠BAC);
          當∠BAC<90°且∠B、∠C兩者之一為鈍角時,
          ∠DAE=2∠BAC.
          證明:(I)①當∠BAC>90°時,如圖1,
          ∵∠B+∠BAC+∠C=180°,
          ∠B+∠1+∠2+∠3+∠C=180°,
          ∵DF垂直平分AB,
          ∴DB=DA,
          ∴∠B=∠1.同理得∠C=∠3,代入式,得:2∠B+∠2+2∠C=180°,
          ∠2=180°-2(∠B+∠C)=180°-2(180°-∠BAC)=2(∠BAC-90°),(7分)
          即∠DAE=2(∠BAC-90°);

          ②當∠BAC=90°時,如圖2,此時,點D、E重合,即
          ∠DAE=0°,而∠BAC-90°=0°,
          ∴∠DAE=2(∠BAC-90°)(8分)
          (II)當∠BAC<90°且∠B及∠C均為銳角時,①點D、E均在線段BC上,
          如圖3,∵∠B+∠BAC+∠C=180°,即∠B+∠1+∠2+∠3+∠C=180°,
          ∵DF垂直平分AB,∴DB=DA,
          ∴∠B=∠1+∠2,∴∠1=∠B-∠2,
          同理得∠3=∠C-∠2,代入上式,得∠B+(∠B-∠2)+∠2+(∠C-∠2)+∠C=180°,
          整理得∠2=2(∠B+∠C-90°)=2(180°-∠BAC-90°)=2(∠BAC-90°),
          即∠DAE=2(90°-∠BAC);(10分)
          ②當點D在線段BC上,點E在線段CB的延長線上(如圖4)時,
          ∵EG垂直平分AC,
          ∴EC=EA,∠C=∠EAC,即∠C=∠1+∠2+∠3,
          兩邊都加∠2,得∠C+∠2=∠1+∠2+∠3+∠2,而DA=DB,
          ∴∠2=∠ABC,上式即為∠ABC+∠C=∠DAE+∠BAC,
          ∴∠DAE=∠ABC+∠C-∠BAC=180°-∠BAC-∠BAC=2(90°-∠BAC),
          即∠DAE=2(90°-∠BAC);
          ③當點E在線段BC上,點D在線段BC的延長線上(如圖5)時,
          ∵DF垂直平分AB,
          ∴DB=DA,∠B=∠BAD,即∠B=∠1+∠2+∠3,
          兩邊都加∠2,得∠B+∠2=∠1+∠2+∠3+∠2,而EA=EC,
          ∴∠2=∠ACE,上式即為∠B+∠ACB=∠BAC+∠DAE,
          ∴∠DAE=∠B+∠ACB-∠BAC=180°-∠BAC-∠BAC=2(90°-∠BAC),
          即∠DAE=2(90°-∠BAC);
          ④當點D、E分別在線段BC的延長線和反向延長線上(如圖6)時,∠2+∠ABC+∠ACB=180°,等式兩邊都加上∠1+∠2+∠3,得
          (∠1+∠2+∠3)+∠2+∠ABC+∠ACB=180°+(∠1+∠2+∠3),由∠1+∠2=∠ACB,∠2+∠3=∠ABC,∠1+∠2+∠3=∠DAE,得2(∠ABC+∠ACB)=180°+∠DAE,
          整理得∠DAE=2(90°-∠BAC);
          ⑤當點D與點C重合(如圖7)時,∠DAE=∠1+∠2,兩邊都加上∠2,得∠DAE+∠2=∠1+∠2+∠2,由∠2=∠BAC=∠ABC,∠1+∠2=∠BCA,得∠DAE+∠BAC=∠ACB+∠ABC,∠DAE+∠BAC=180°-∠BAC,得∠DAE=2(90°-∠BAC);
          ⑥當點E與點B重合(如圖8)時,∠DAE=∠1+∠2,兩邊都加上∠1,得∠DAE+∠1=∠1+∠2+∠1,由∠1=∠BAC=∠ACB,∠1+∠2=∠ABC,得∠DAE+∠BAC=∠ACB+∠ABC,∠DAE+∠BAC=180°-∠BAC,得∠DAE=2(90°-∠BAC);

          ⑦當點D與C重合,點E與B重合時,如圖9,由已知條件得BA=BC,CA=CB,從而△ABC為等邊三角形,∠DAE=∠A=60°=2(90°-60°)=2(90°-∠A),即∠DAE=2(90°-∠BAC);(12分)
          (III)當∠BAC<90°且∠B或∠C之一為鈍角時,①設∠ACB為鈍角,如圖10,
          ∵EG垂直平分AC,
          ∴EA=EC,
          ∴∠ACE=∠3,
          又∵∠ACE=∠B+∠BAC=∠B+∠1+∠2,即∠3=∠B+∠1+∠2,兩邊都加上∠2,
          ∠3+∠2=∠B+∠1+∠2+∠2,
          ∵∠3+∠2=∠DAE,∠1+∠2=∠BAC,∠1=∠B,代入得:∠DAE=∠1+∠1+∠2+∠2=2(∠1+∠2)=2∠BAC,即∠DAE=2∠BAC;②當點D與點C重合(∠ACB為鈍角)時,如圖11,
          ∵EA=EC,
          ∴∠2=∠ACE,
          ∵∠ACE=∠1+∠B=2∠1,即∠DAE=2∠BAC;
          ③當∠ABC為鈍角時,如圖12,
          ∵∠1=∠ABD,而∠ABD=∠2+∠3+∠C,
          ∴∠1=∠2+∠3+∠C,兩邊都加∠2,得
          ∠1+∠2=∠2+∠3+∠C+∠2,∠DAE=∠BAC+∠BAC=2∠BAC;
          ④當點E與點B重合(∠ABC為鈍角)時,如圖13,
          ∵DA=DB,∴∠1=∠ABD,∵∠ABD=∠2+∠C=2∠2,即∠DAE=2∠BAC;(14分)
          綜上所述,得∠DAE=2(∠BAC-90°)或∠DAE=2(90°-∠BAC)或∠DAE=2∠BAC,即∠DAE=2|90°-∠BAC|或∠DAE=2∠BAC.
          點評:本題考查的是線段垂直平分線及三角形外角的性質,在解答此題時由于△ABC的形狀不能確定,故應進行分類討論.
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          20
          °;
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          (2)當∠BAC為鈍角時,猜想∠DAE與∠BAC的關系:________.

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