Question

如圖，以BC為直徑的圓0交∆CFB的邊CF于點A，BM平分∠ABC交AC于點M,AD⊥BC于點D，AD交BM于點N,ME⊥BC于點E，AB² =AF．AC.

1.求△ANM≅△ENM;

2.求證：FB是圓O的切線

3.證明四邊形AMEN是菱形．

 

Answer 1

【答案】

 

1.證明：因為BC是圓0的直徑，

所以：∠BAC=90⁰                                    （1分）

又EM⊥BC，BM平分∠ABC，

所以：AM=ME. ∠AMN=∠EMN

又MN=MN

所以：∆ANM≅∆ENM

2.因為：AB²=AF∙AC,

又∠ABF=∠C

所以：∆ABF~∆ACB                                                 (4分)

所以：∠ABF=∠C

又∠FBC=∠ABC+∠FBA= 90⁰，

．’．FB是圓O的切線

3.解：由(1)得AN=EN,AM=EM, ∠AMN=∠EMN

又：AN//ME

所以：∠ANM=∠EMN                                              (7分)

所以：∠AMN=∠ANM                                        (8分)

所以：AN=AM

AM=ME+EN=AN

所以：四邊形AMEN是菱形                                    （10分）

【解析】（1）利用角平分線的性質定理，可以得出AM=ME，∠AMN=∠EMN，再利用SAS可證出：△ANM≌△ENM

（2）利用相似三角形的判定可證出△ABF∽△ACB，從而得出∠ABF=∠C，那么可以得到∠CBF=90°

（3）利用（1）中的結論先證出∠AMN=∠ANM，可以得到AM=ME=EN=AN，從而得出四邊形AMEN是菱形，再求出△BND∽△BME，利用比例線段可求出ME的長，再利用菱形的面積公式可計算出菱形的面積．