Question

已知：Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分線與外角∠CBE的平分線相交于點D．
（1）如圖1，若CA=CB，則∠D=______度；
（2）如圖2，若CA≠CB，求∠D的度數(shù)；
（3）如圖3，在（2）的條件下，AD與BC相交于點F，過B作BG⊥DF，過D作DH⊥BF，垂足分別為G，H，BG，DH相交于點M．若FG=2，DG=4，求BH的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)∠DBE是△ABD的外角，以及三角形外角和定理即可求解；
（2）根據(jù)AD平分∠CAB，BD平分∠CBE即可得到：∠BAD=∠CAB，∠DBE=∠CBE=∠DAB+45°，然后在△ABD中，利用三角形外角和定理即可求得；
（3）證明△DHF∽△BGF，然后根據(jù)相似三角形的對應邊的比相等即可求解．
解答：解：（1）∵Rt△ABC中，∠C=90°，CA=CB，
∴∠CAB=∠ABC=45°，
∴∠CBE=180°-45°=135°，∠DAB=∠CAB=22.5°，
∴∠DBE=∠CBE=67.5°
∴∠D=∠DBE-∠DAB=45°；

（2）∵∠CBE是Rt△ABC的外角
∴∠CBE=90°+∠CAB
又∵AD平分∠CAB，BD平分∠CBE
∴∠BAD=，∠DBE=
又∵∠DBE=∠DAB+∠D
∴∠D=45°

（3）∵∠ADB=45°，BG⊥DF
∴BG=DG=4
在Rt△BGF中，BF==2，
∵BG⊥DF，DH⊥BF
∴∠DFB+∠FDH=∠DFB+∠FBG=90°
∴∠FDH=∠FBG
又∵∠BGF=∠DHF=90°
∴△DHF∽△BGF
∴
∴，
點評：本題考查了三角形外角的性質定理，相似三角形的判定與性質的綜合應用，正確證明△DHF∽△BGF是關鍵．