Question

如圖1，正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)M，正方形MNPQ與正方形ABCD全等，MN、MQ分別交正方菜ABCD的邊于E、F兩 點(diǎn)．
（1）試判斷ME與MF之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．
（2）若將題中的“正方形MNPQ與正方形ABCD”改為“矩形MNPQ與矩形ABCD”，且BC=2AB，其他條件不變，當(dāng)矩形MNPQ與矩形ABCD的位置如圖2所示時(shí)，請(qǐng)判斷ME與MF之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．

Answer 1

分析：（1）求簡(jiǎn)單的線(xiàn)段相等，可證線(xiàn)段所在的三角形全等；故M分別作MG⊥BC于G，MH⊥CD于H，易得MG=MH，而∠EMG、∠FMH都是∠GMF的余角，由此可證得∠EMG=∠FMH，即可證得△MGE≌△MHF，由此得證．
（2）如圖2，此種情況與（1）類(lèi)似，不同的是（1）題用到的是全等，而此題運(yùn)用的是相似，過(guò)點(diǎn)M作MG⊥BC于點(diǎn)G，MH⊥CD于點(diǎn)H，通過(guò)證△MGE∽△MHF，得到關(guān)于ME、MF、MG、MH的比例關(guān)系式，聯(lián)立矩形的性質(zhì)及BC、AB的比例關(guān)系，即可求得ME、MF的比例關(guān)系．

解答：（1）解：ME=MF．理由如下：
如圖1，過(guò)點(diǎn)M作MG⊥BC于點(diǎn)G，MH⊥CD于點(diǎn)H．
∴∠MGE=∠MHF=90°．
∵M(jìn)為正方形對(duì)角線(xiàn)AC、BD的交點(diǎn)，∴MG=MH．
又∵∠1+∠GMQ=∠2+∠GMQ=90°，
∴∠1=∠2．
在△MGE和△MHF中，

∠1=∠2 MG=MH ∠MGE=∠MHF

，
∴△MGE≌△MHF（ASA）．
∴ME=MF．

（2）解：

ME

MF

=

1

2

．理由如下：
如圖2，過(guò)點(diǎn)M作MG⊥BC于點(diǎn)G，MH⊥CD于點(diǎn)H．
∴∠MGE=∠MHF=90°．
∵M(jìn)為矩形對(duì)角線(xiàn)AC、BD的交點(diǎn)，
∴∠1+∠GMQ=∠2+∠GMQ=90°．
∴∠1=∠2．
在△MGE和△MHF中，
∠1=∠2
∠MGE=∠MHF
∴△MGE∽△MHF．
∴

ME

MF

=

MG

MH

．
∵M(jìn)為矩形對(duì)角線(xiàn)AB、AC的交點(diǎn)，
∴MB=MD=MC
又∵M(jìn)G⊥BC，MH⊥CD，
∴點(diǎn)G、H分別是BC、DC的中點(diǎn)．
∵BC=2AB=4，
∴MG=

1

2

AB，MH=

1

2

BC．
∴

ME

MF

=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正方形、矩形的性質(zhì)，全等三角形、相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用．難度較大．