Question

如圖1，OP是∠MON的平分線，請(qǐng)你利用該圖形畫一對(duì)以O(shè)P所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形，并將添加的全等條件標(biāo)注在圖上．
請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問(wèn)題：
（1）如圖2，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC和∠BCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F，求∠EFA的度數(shù)；
（2）在（1）的條件下，請(qǐng)判斷FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）如圖3，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（ 1 ）中的其他條件不變，試問(wèn)在（2）中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：如圖．
（1）如圖1，∵∠ACB=90°，∠B=60°．
∴∠BAC=30°．
∵AD、CE分別是∠BAC和∠BCA的平分線，
∴∠EAF=∠CAF=∠BAC=15°，∠DCF=∠ACF=∠ACB=45°．
∴∠AEF=∠B+∠DCF=60°+45°=105°，
∴∠EFA=180°﹣∠AEF﹣∠EAF=60°．
（2）FE=FD．
如圖2，在AC上截取AG=AE，連接FG．
由（1）知∠EAF=∠GAF，
又∵AF為公共邊，
∴△EAF≌△GAF，
∴FE=FG，∠EFA=∠GFA=60°．
∴∠GFC=180°﹣60°﹣60°=60°．
又∵∠DFC=∠EFA=60°，
∴∠DFC=∠GFC．
由（1）知∠DCF=∠GCF，
又∵CF為公共邊，
∴△FDC≌△FGC，
∴FD=FG．
∴FE=FD．
（3）（2）中的結(jié)論FE=FD仍然成立．
同（2）可得△EAF≌△HAF，
∴FE=FH，∠EFA=∠HFA．
又由（1）知∠FAC=∠BAC，∠FCA=∠ACB，
∴∠FAC+∠FCA=（∠BAC+∠ACB）=（180°﹣∠B）=60°．
∴∠AFC=180°﹣（∠FAC+∠FCA）=120°．
∴∠EFA=∠HFA=180°﹣120°=60°．
同（2）可得△FDC≌△FHC，
∴FD=FH．
∴FE=FD．