Question

【題目】如圖，，，．動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿y軸以每秒1個單位長的速度向上移動，且過點(diǎn)P的直線l（其解析式為，且直線l與x軸所夾的銳角為45°）也隨之移動，設(shè)移動時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)時(shí)，求l的解析式；

（2）若點(diǎn)M，N位于l的異側(cè)，確定t的取值范圍；

（3）求出t為何值時(shí)，點(diǎn)M關(guān)于l的對稱點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上．

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 6＜t＜9；(3) 2秒或3秒.

【解析】

(1)將P(0,4)代入解析式中即可求解；

(2)當(dāng)直線l剛好經(jīng)過M點(diǎn)時(shí)求出其與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出P點(diǎn)運(yùn)動的路程，再除以速度進(jìn)而得到時(shí)間；當(dāng)直線l剛好經(jīng)過N點(diǎn)時(shí)同樣的方式求出時(shí)間，兩個時(shí)間之間即為t的取值范圍；

(3)作M點(diǎn)關(guān)于l的對稱點(diǎn)M’，求出M’坐標(biāo)，再分別令其橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)為0，求出t的值.

解：(1)當(dāng)時(shí)，此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，5)，將(0，5)代入解析式中

得到：，解得：

故時(shí)，求l的解析式為：.

故答案為：.

(2)當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，將點(diǎn)代入解析式中

得到：，解得：，此時(shí)l的解析式為：

令，∴此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為

又∵運(yùn)動的速度為1個單位每秒，故此時(shí)運(yùn)動了7-1=6秒；

當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，將點(diǎn)代入解析式中

得到：，解得：，此時(shí)l的解析式為：

令，∴此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為

又∵運(yùn)動的速度為1個單位每秒，故此時(shí)運(yùn)動了10-1=9秒；

故當(dāng)6＜t＜9時(shí)點(diǎn)M，N位于l的異側(cè).

故答案為：6＜t＜9.

(3) 作M點(diǎn)關(guān)于l的對稱點(diǎn)M’，如下圖所示：

連接MM’與x軸交于點(diǎn)F，直線l與x軸交于E點(diǎn)，直線l與MM’交于點(diǎn)H

則有MM’⊥HE，∴∠EHF=90°

∵直線l與x軸所夾的銳角為45°

∴∠MFE=90°-45°=45°

∴直線MM’解析式中的k=1，設(shè)MM’解析式為y=x+n，

代入點(diǎn)M(4,3)，解得n=-1

故直線MM’的解析式為：y=x-1

∴設(shè)點(diǎn)M’的坐標(biāo)為()，

由H是M和M’的中點(diǎn)可知：

H點(diǎn)坐標(biāo)為，即H

情況一：當(dāng)M’位于x軸上時(shí)，即，即時(shí)，

求得H點(diǎn)坐標(biāo)為(

又H點(diǎn)在直線l上，故將H點(diǎn)坐標(biāo)代入直線l的解析式中

求得，此時(shí)l的解析式

∴此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,4)

故時(shí)間t=(4-1)÷1=3秒；

情況二：當(dāng)M’位于y軸上時(shí)，即時(shí)

求得H點(diǎn)坐標(biāo)為(

又H點(diǎn)在直線l上，故將H點(diǎn)坐標(biāo)代入直線l的解析式中

求得，此時(shí)l的解析式

∴此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3)

故時(shí)間t=(3-1)÷1=2秒；

故答案為：2秒或3秒.