Question

如圖，已知點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上，AB=12，∠OAB=30°，經(jīng)過A、B的直線l以每秒1個(gè)單位的速度向下作勻速平移運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，在直線l上以每秒1個(gè)單位的速度沿直線l向右下方向作勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）直接寫出A、B點(diǎn)坐標(biāo)是A點(diǎn)

 

，B點(diǎn)

 

；
（2）用含t的代數(shù)式求出表示點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）過O作OC⊥l于C，過C作CD⊥x軸于D，問：t為何值時(shí)，以P為圓心、1為半徑的圓與直線OC相切？并寫出此時(shí)⊙P與直線CD的位置關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)Rt△OAB中，根據(jù)“30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半”求得OB=6；然后利用勾股定理求得OA=6

3

，從而求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（2）結(jié)合題意，利用解直角三角形的知識(shí)進(jìn)行求解；
（3）此題應(yīng)分作兩種情況考慮：
①當(dāng)P位于OC左側(cè)，⊙P與OC第一次相切時(shí)，易證得∠COB=∠BAO=30°，設(shè)直線l與OC的交點(diǎn)為M，根據(jù)∠BOC的度數(shù)，即可求得B′M、PM的表達(dá)式，而此時(shí)⊙P與OC相切，可得PM=1，由此可列出關(guān)于t的方程，求得t的值，進(jìn)而可判斷出⊙P與CD的位置關(guān)系；
②當(dāng)P位于OC右側(cè)，⊙P與OC第二次相切時(shí)，方法與①相同．

解答：解：（1）在Rt△OAB中，AB=12，∠OAB=30°，
∴OB=6（30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半），
OA=6

3

（勾股定理），
∴A(6

3

，0)，B(0，6)；

（2）作PF⊥y軸于F．
∵∠BAO=30°．
∴在直角三角形PFB′中，PB′=t，∠B′PF=30°，
則B′F=

t

2

，PF=

3

2

t．
又BB′=t，
∴OF=OB-BB′-B′F=6-t-

t

2

=6-

3

2

t，
則P點(diǎn)的坐標(biāo)為（

3

2

t，6-

3

2

t）．

（3）此題應(yīng)分為兩種情況：
①當(dāng)⊙P和OC第一次相切時(shí)，
設(shè)直線B′P與OC的交點(diǎn)是M．
根據(jù)題意，知∠BOC=∠BAO=30°．
則B′M=

1

2

OB′=3-

t

2

，
∵PB′=t
∴PM=B′M-PB′=3-

3

2

t．
根據(jù)直線和圓相切，則圓心到直線的距離等于圓的半徑，得
3-

3

2

t=1，t=

4

3

．
此時(shí)⊙P與直線CD顯然相離；
②當(dāng)⊙P和OC第二次相切時(shí)，
則有

3

2

t-3=1，t=

8

3

．
此時(shí)⊙P與直線CD顯然相交．
答：當(dāng)t=

4

3

或

8

3

時(shí)⊙P和OC相切，t=

4

3

時(shí)⊙P和直線CD相離，當(dāng)t=

8

3

時(shí)⊙P和直線CD相交．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了一次函數(shù)綜合題．解題時(shí)，要求學(xué)生具有解直角三角形、直線和圓的位置關(guān)系等知識(shí)的綜合應(yīng)用能力，難度較大．