Question

如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象在第一象限只有一個(gè)交點(diǎn)A，一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，AD垂直平分OB，垂足為D，OA=

5

，sin∠ABO=

2 5

5

．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)及反比例函數(shù)解析式；
（2）求一次函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析：利用垂直平分線的性質(zhì)求出AD的值，再根據(jù)已知條件求出點(diǎn)A的坐標(biāo)（1，2），再根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)求出反比例函數(shù)解析式y=

k

x

(k≠0)中k的值，即可求出反比例函數(shù)的解析式為y=

2

x

；根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)及垂直平分線的性質(zhì)求出點(diǎn)B的坐標(biāo)（2，0），將A（1，2），B（2，0）代入求出a，b的值得到一次函數(shù)的解析式為y=-2x+4．

解答：解：（1）∵AD垂直平分OB，
∴OA=AB=

5

．
∵sin∠ABO=

2 5

5

，
∴

AD

AB

=

2 5

5

，
∴AD=2．
∴BD=

( 5 )2-22

=1．
∵OD=BD，
∴OD=1．
∴A（1，2）．
設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=

k

x

(k≠0)，
將A（1，2）代入：k=1×2=2．
∴反比例函數(shù)的解析式為y=

2

x

．

（2）∵A（1，2），OD=DB=1，∴OB=2，
∴B（2，0）．
設(shè)一次函數(shù)的解析式為y=ax+b（a≠0），
∴

a+b=2 2a+b=0

，
解得

a=-2 b=4

，
∴一次函數(shù)的解析式為y=-2x+4．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了垂直平分線的性質(zhì)，反比例函數(shù)的解析式，點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)以及一次函數(shù)的解析式的求法．