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        1. 把兩個全等的直角三角板的斜邊重合,組成一個四邊形ABCD以D為頂點作∠MDN,交邊AC、BC于M、N.
          (1)若∠ACD=30°,∠MDN=60°,當∠MDN繞點D旋轉(zhuǎn)時,AM、MN、BN三條線段之間有何種數(shù)量關系?證明你的結(jié)論;
          (2)當∠ACD+∠MDN=90°時,AM、MN、BN三條線段之間有何數(shù)量關系?證明你的結(jié)論;
          (3)如圖③,在(2)的結(jié)論下,若將M、N分改在CA、BC的延長上,完成圖3,其余條件不變,則AM、MN、BN之間有何數(shù)量關系(直接寫出結(jié)論,不必證明)


          (1)AM+BN=MN,
          證明:延長CB到E,使BE=AM,
          ∵∠A=∠CBD=90°,
          ∴∠A=∠EBD=90°,
          在△DAM和△DBE中
          ,
          ∴△DAM≌△DBE,
          ∴∠BDE=∠MDA,DM=DE,
          ∵∠MDN=∠ADC=60°,
          ∴∠ADM=∠NDC,
          ∴∠BDE=∠NDC,
          ∴∠MDN=∠NDE,
          在△MDN和△EDN中
          ,
          ∴△MDN≌△EDN,
          ∴MN=NE,
          ∵NE=BE+BN=AM+BN,
          ∴AM+BN=MN.

          (2)AM+BN=MN,
          證明:延長CB到E,使BE=AM,連接DE,
          ∵∠A=∠CBD=90°,
          ∴∠A=∠DBE=90°,
          ∵∠CDA+∠ACD=90°,∠MDN+∠ACD=90°,
          ∴∠MDN=∠ADC,
          ∵∠ADN=∠BDC,
          ∴∠MDA=∠CDN,∠CDM=∠NDB,
          在△DAM和△DBE中
          ,
          ∴△DAM≌△DBE,
          ∴∠BDE=∠MDA=∠CDN,DM=DE,
          ∵∠MDN+∠ACD=90°,∠ACD+∠ADC=90°,
          ∴∠NDM=∠ADC=∠CDB,
          ∴∠ADM=∠CDN=∠BDE,
          ∵∠CDM=∠NDB
          ∴∠MDN=∠NDE,
          在△MDN和△EDN中
          ,
          ∴△MDN≌△EDN,
          ∴MN=NE,
          ∵NE=BE+BN=AM+BN,
          ∴AM+BN=MN.

          (3)BN-AM=MN,
          證明:在CB截取BE=AM,連接DE,
          ∵∠CDA+∠ACD=90°,∠MDN+∠ACD=90°,
          ∴∠MDN=∠ADC,
          ∵∠ADN=∠ADN,
          ∴∠MDA=∠CDN,
          ∵∠B=∠CAD=90°,
          ∴∠B=∠DAM=90°,
          在△DAM和△DBE中
          ,
          ∴△DAM≌△DBE,
          ∴∠BDE=∠ADM=∠CDN,DM=DE,
          ∵∠ADC=∠BDC=∠MDN,
          ∴∠MDN=∠EDN,
          在△MDN和△EDN中

          ∴△MDN≌△EDN,
          ∴MN=NE,
          ∵NE=BN-BE=BN-AM,
          ∴BN-AM=MN.
          分析:(1)延長CB到E,使BE=AM,證△DAM≌△DBE,推出∠BDE=∠MDA,DM=DE,證△MDN≌△EDN,推出MN=NE即可;
          (2)延長CB到E,使BE=AM,證△DAM≌△DBE,推出∠BDE=∠MDA,DM=DE,證△MDN≌△EDN,推出MN=NE即可;
          (3)在CB截取BE=AM,連接DE,證△DAM≌△DBE,推出∠BDE=∠MDA,DM=DE,證△MDN≌△EDN,推出MN=NE即可.
          點評:本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應用,主要考查學生運用性質(zhì)進行推理的能力,運用了類比推理的方法,題目比較典型,但有一定的難度.
          練習冊系列答案
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          科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

          把兩個全等的直角三角板的斜邊重合,組成一個四邊形ABCD以D為頂點作∠MDN,交邊AC、BC于M、N.
          (1)若∠ACD=30°,∠MDN=60°,當∠MDN繞點D旋轉(zhuǎn)時,AM、MN、BN三條線段之間有何種數(shù)量關系?證明你的結(jié)論;
          (2)當∠ACD+∠MDN=90°時,AM、MN、BN三條線段之間有何數(shù)量關系?證明你的結(jié)論;
          (3)如圖③,在(2)的結(jié)論下,若將M、N分改在CA、BC的延長上,完成圖3,其余條件不變,則AM、MN、BN之間有何數(shù)量關系(直接寫出結(jié)論,不必證明)

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          科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

          把兩個全等的直角三角板ABC和EFG疊放在一起,且使三角板EFG的直角頂點G與三角板ABC的斜邊中點O重合,其中∠B=∠F=30°,斜邊AB和EF的長均為4。

          (1)當EG⊥AC于點K,GF⊥BC于點H時,如圖23-1,求GH:GK的值.

          (2)現(xiàn)將三角板EFG由圖23-1所示的位置繞O點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角滿足條件:

          0°<<30°,如圖23-2,EG交AC于點K,GF交BC于點H,GH:GK的值是否改變?證明你的結(jié)論.

           

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          科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

          把兩個全等的直角三角板ABC和EFG疊放在一起,且使三角板EFG的直角頂點G與三角板ABC的斜邊中點O重合,其中∠B=∠F=30°,斜邊AB和EF的長均為4。
          (1)當EG⊥AC于點K,GF⊥BC于點H時,如圖23-1,求GH:GK的值.
          (2)現(xiàn)將三角板EFG由圖23-1所示的位置繞O點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角滿足條件:
          0°<<30°,如圖23-2,EG交AC于點K,GF交BC于點H,GH:GK的值是否改變?證明你的結(jié)論.

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          科目:初中數(shù)學 來源:2011屆湖南省岳陽市長煉中學初三上學期末數(shù)學卷 題型:解答題

          把兩個全等的直角三角板ABC和EFG疊放在一起,且使三角板EFG的直角頂點G與三角板ABC的斜邊中點O重合,其中∠B=∠F=30°,斜邊AB和EF的長均為4。
          (1)當EG⊥AC于點K,GF⊥BC于點H時,如圖23-1,求GH:GK的值.
          (2)現(xiàn)將三角板EFG由圖23-1所示的位置繞O點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角滿足條件:
          0°<<30°,如圖23-2,EG交AC于點K,GF交BC于點H,GH:GK的值是否改變?證明你的結(jié)論.

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          科目:初中數(shù)學 來源:2010-2011學年湖南省岳陽市初三上學期末數(shù)學卷 題型:解答題

          把兩個全等的直角三角板ABC和EFG疊放在一起,且使三角板EFG的直角頂點G與三角板ABC的斜邊中點O重合,其中∠B=∠F=30°,斜邊AB和EF的長均為4。

          (1)當EG⊥AC于點K,GF⊥BC于點H時,如圖23-1,求GH:GK的值.

          (2)現(xiàn)將三角板EFG由圖23-1所示的位置繞O點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角滿足條件:

          0°<<30°,如圖23-2,EG交AC于點K,GF交BC于點H,GH:GK的值是否改變?證明你的結(jié)論.

           

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