Question

【題目】如圖，二次函數y=x2+bx+c的圖象交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，頂點為點P，經過B、C兩點的直線為y=﹣x+3．

（1）求該二次函數的關系式；
（2）在該拋物線的對稱軸上是否存在點M，使以點C、P、M為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）連接AC，在x軸上是否存在點Q，使以點P、B、Q為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵直線y=﹣x+3經過B、C兩點，

∴B（3，0），C（0，3），

∵二次函數y=x2+bx+c圖象交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，

∴ 解得 ，

∴二次函數解析式為y=x2﹣4x+3

（2）

解：∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，

∴該拋物線的對稱軸為直線x=2，頂點坐標為P（2，﹣1），

∴如圖1所示，滿足條件的點M分別為

M1（2，7），M2（2，2 ﹣1），M3（2， ），M4（2，﹣2 ﹣1）

（3）

解：由（1）（2）得A（1，0），BP= ，BC=3 ，AB=2，

如圖2所示，連接BP，∠CBA=∠ABP=45°，

① = 時，△ABC∽△PBQ1，

此時， = ，

∴BQ1=3，

∴Q1（0，0）．

②當 = 時，△ABC∽△Q2BP，

此時， = ，

∴BQ2= ，

∴Q2（ ，0），

綜上所述，存在點Q使得以點P、B、Q為頂點的三角形與△ABC相似．

點Q坐標（0，0）或（ ，0）．

【解析】（1）先求出B、C坐標，代入拋物線解析式解方程組即可解決問題．（2）分三種情形討論即可①CM=CP，②PM=PC，③MP=MC，畫出圖形即可解決問題．（3）分兩種情形討論即可① = 時，△ABC∽△PBQ1 ， 列出方程即可解決．②當 = 時，△ABC∽△Q2BP，列出方程即可解決．