Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+c的頂點(diǎn)為C（0，），與x軸交于A、B兩點(diǎn)，且A（﹣1，0）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)A運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒v個(gè)單位的速度向y軸負(fù)方向勻速運(yùn)動，運(yùn)動時(shí)間為t秒，連接PQ交射線BC于點(diǎn)D，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)Q停止運(yùn)動，以點(diǎn)P為圓心，PB為半徑的圓與射線BC交于點(diǎn)E．

①求BE的長；當(dāng)t＝1時(shí)，求DE的長；

②若在點(diǎn)P，Q運(yùn)動的過程中，線段DE的長始終是一個(gè)定值，求v的值及DE長．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣；（2）①當(dāng)t＝1時(shí)， DE＝1為定值；②在點(diǎn)P運(yùn)動的過程中，v＝，線段DE的長是定值1．

【解析】

（1）由拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)為C（0，-），可得對稱軸，將拋物線解析式改為頂點(diǎn)式，將A（-1，0）代入即可；
（2）連接PE，過D作D⊥y軸于H，設(shè)DH=a，設(shè)經(jīng)過t秒時(shí)，①當(dāng)0＜t＜1時(shí)，利用△QDH∽△QPO即可得DE的長與t無關(guān)，為定值；當(dāng)t=1時(shí)，易得DE=CE=BC=1為定值；②當(dāng)1＜t≤2時(shí)，△QDH∽△QPO，可得DE為定值．

（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c的頂點(diǎn)為C（0，﹣），

∴拋物線的對稱軸是y軸，

∴b＝0，

設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2﹣，把A（﹣1，0）代入y＝ax2﹣，得a＝，

∴拋物線的解析式為y＝x2﹣；

（2）如圖1，連接PE，過D作D⊥y軸于H，設(shè)DH＝a，

設(shè)經(jīng)過t秒時(shí)，PB＝t，CQ＝vt，

①當(dāng)0＜t＜1時(shí)，

∵PB＝PE＝t，∠PBE＝60°，

∴△PBE是等邊三角形，

∴BE＝PB＝t；

又 OP＝1﹣t，CQ＝vt，QH＝HC+CQ＝vt+a，QO＝OC+CQ＝vt+，

∵△QDH∽△QPO，

∴，即，

∴a＝，

∴DC＝2DH＝，

∴DE＝CB﹣EB﹣DC＝2﹣t﹣＝t+，

依題意，DE為定值，故當(dāng)v＝時(shí)，DE的長與t無關(guān)，即DE＝1；

當(dāng)t＝1時(shí)，P到O點(diǎn)，C與D重合，顯然DE＝CE＝BC＝1為定值；

②如圖2，當(dāng)1＜t≤2時(shí)，OP＝PB﹣OB＝t﹣1，

∵DH＝a，CH＝a，QH＝CQ﹣CH＝vt﹣a，QO＝CQ+OC＝vt+，

同理，△QDH∽△QPO，得，即，

∴a＝，

∴DC＝2DH＝，

∴DE＝DC+CE＝+（2﹣t）＝t+，

依題意，DE為定值，故當(dāng)v＝時(shí)，DE＝1，

綜上所述，在點(diǎn)P運(yùn)動的過程中，v＝，線段DE的長是定值1．