Question

若關(guān)于x的方程（x-2）（x²-4x+m）=0有三個(gè)根，且這三個(gè)根恰好可以作為一個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng)，則m的取值范圍是

 

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Answer 1

分析：根據(jù)原方程可知x-2=0，和x²-4x+m=0，因?yàn)殛P(guān)于x的方程（x-2）（x²-4x+m）=0有三個(gè)根，所以x²-4x+m=0的根的判別式△＞0，然后再由三角形的三邊關(guān)系來(lái)確定m的取值范圍．

解答：解：∵關(guān)于x的方程（x-2）（x²-4x+m）=0有三個(gè)根，
∴①x-2=0，解得x₁=2；
②x²-4x+m=0，
∴△=16-4m≥0，即m≤4，
∴x₂=2+

4-m

，
x₃=2-

4-m

，
又∵這三個(gè)根恰好可以作為一個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng)，
且最長(zhǎng)邊為x₂，
∴x₁+x₃＞x₂；    
解得3＜m≤4，
∴m的取值范圍是3＜m≤4．
故答案為：3＜m≤4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式及三角形的三邊關(guān)系．解答此題時(shí)，需注意，三角形任意兩邊和大于第三邊．