Question

在坐標(biāo)平面內(nèi)，半徑為R的⊙O與x軸交于點(diǎn)D（1，0）、E（5，0），與y軸的正半軸相切于點(diǎn)B．點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)P（a，0）在x的正半軸上運(yùn)動(dòng)，作直線AP，作EH⊥AP于H．
（1）求圓心C的坐標(biāo)及半徑R的值；
（2）△POA和△PHE隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而變化，若它們?nèi)�等，求a的值；若給定a=6，試判定直線AP與⊙C的位置關(guān)系（要求說明理由）．

Answer 1

分析：（1）由題意知圓心C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為DE中點(diǎn)的坐標(biāo)，縱坐標(biāo)和B點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，用切割線定理求出OB的長即可，C點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于半徑；
（2）因?yàn)椤鱌OA≌△PHE，OE的長為直角邊和斜邊的和，而OE的長已求，用OP表示PE，并且OA=OB．
根據(jù)勾股定理求出OP的長即為a的值，過A作圓的切線為標(biāo)準(zhǔn)證明AP與⊙C的關(guān)系．

解答：解：（1）連接BC，則BC⊥y軸．
取DE中點(diǎn)M，連CM，則CM⊥x軸．
∵OD=1，OE=5，
∴OM=3．
∵OB²=OD•OE=5，
∴OB=

5

．
∴圓心C(3，

5

)，半徑R=3．

（2）∵△POA≌△PHE，
∴PA=PE．
∵OA=OB=

5

，OE=5，OP=a，
∴PA²=a²+5，
PE²=（5-a）²，
∴a²+5=（a-5）²，
a=2．

（3）解法一：
過點(diǎn)A作⊙C的切線AT（T為切點(diǎn)），交x軸正半軸于Q．
設(shè)Q（m，0），則QE=m-5，QD=m-1，
QT=QA-AT=QA-AB=

m2+5

-2

5

．
由QT²=QE•QD，
得(

m2+5

-2

5

)2=（m-5）（m-1），
2

5(m2+5)

=3m+10，
11m²-60m=0．
∵m＞0，
∴m=

60

11

．
∵a=6，點(diǎn)P（6，0），在點(diǎn)Q(

60

11

，0)的右側(cè)，
∴直線AP與⊙C相離．

解法二：
設(shè)射線AP、BC交于點(diǎn)F，作CT⊥AF于T．
∵△AOP∽△CTF，
∴

CT

CF

=

AO

AP

．
而AO=

5

，AP=

41

，
CF=BF-BC=12-3=9，
∴

CT

9

=

5

41

，
CT=

9 5

41

＞

9 5

45

=3=R，
∴直線AP與⊙C相離．

點(diǎn)評(píng)：考查了直線與圓的位置關(guān)系；能夠根據(jù)全等，相似三角形，勾股定理求線段等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)．