Question

如圖，Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AC=BC=2，E，F(xiàn)分別為AC，AB的中點(diǎn)，連接EF．現(xiàn)將一把直角尺放在給出的圖形上，使直角頂點(diǎn)P在線段EF（包括端點(diǎn)）上滑動，直角的一邊始終經(jīng)過點(diǎn)C，另一邊與BF相交于G，連接AP．
（1）求證：PC=PA=PG；
（2）設(shè)EP=x，四邊形BCPG的面積為y，求y與x之間的函數(shù)解析式，現(xiàn)有三個數(shù)

1

2

，

9

8

，

7

4

試通過計算說明哪幾個數(shù)符合y值的要求，并求出符合y值時的x的值；
（3）當(dāng)直角頂點(diǎn)P滑動到點(diǎn)F時，再將直角尺繞點(diǎn)F順時針旋轉(zhuǎn)，兩直角邊分別交AC，BC于點(diǎn)M，N，連接MN．當(dāng)旋轉(zhuǎn)到使MN=

10

7

時，求△APM的周長．

Answer 1

分析：（1）由E，F(xiàn)分別是AC，AB的中點(diǎn)，可得到EF是三角形的中位線，所以EF的長可求，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可證明AP=PC，再證明PA=PG即可證明：PC=PA=PG；
（2）過G作PF的垂線，垂足為H，首先證明Rt△PCE≌Rt△GPH（AAS），再進(jìn)一步得到y(tǒng)和x的函數(shù)關(guān)系式為y=

1

2

x2-x+

3

2

，或y=

1

2

(x-1)2+1，因?yàn)?≤x＜1，所以1＜y≤

3

2

．所以

1

2

，

7

4

不符合，所以只有

9

8

，把

9

8

代入計算求出符合題意的x值即可；
（3）連接CP，則CP⊥AB，因?yàn)锳P=CP，∠A=∠PCN=45°，所以∠APM+∠MPC=∠CPN+∠MPN=90°，所以∠APM=∠CPN，△APM≌△CPN（ASA），所以AM=CN，則CM=BN，AM=CN=x，則CM=2-x，利用勾股定理進(jìn)而得到關(guān)于x的方程，求出x的值即可求出△APM的周長．

解答：解：（1）∵E，F(xiàn)分別是AC，AB的中點(diǎn)，
∴EF=

1

2

BC=1，EF∥BC，
∴EF垂直平分AC，
∴AP=PC，
∴∠ECP=∠EAP；
∵∠CPG=90°，
∴∠ECP+∠EPC=∠GPF+∠EPC，
∴∠ECP=∠GPF．
∵∠GPF+∠PGF=∠AFE=45°，
∠EAP+∠PAF=45°，
∴∠PGF=∠PAF．
∴PA=PG，
∴PC=PA=PG；

（2）過G作PF的垂線，垂足為H，（如圖1）
∵∠ECP+∠EPC=90°，∠HPG+∠EPC=90°
∴∠ECP=∠HPG，PC=PG．
則Rt△PCE≌Rt△GPH（AAS），
∴GH=PE=x，
∴y=

1

2

(1+2)×1-

1

2

x×1-

1

2

(1-x)x，
∴y=

1

2

x2-x+

3

2

，或y=

1

2

(x-1)2+1，
∵0≤x＜1，
∴1＜y≤

3

2

．∴

1

2

，

7

4

不符合，
所以只有

9

8

，
∴

1

2

x2-x+

3

2

=

9

8

，4x²-8x+3=0，解得，x1=

1

2

，x2=

3

2

＞1（舍去），
答當(dāng)x=

1

2

時，y的值為

9

8

．
或①當(dāng)y=

1

2

時，

1

2

x2-x+

3

2

=

1

2

，△＜0，方程無實(shí)數(shù)解；
②當(dāng)y=

9

8

時，4x²-8x+3=0，解得，x1=

1

2

，x2=

3

2

＞1（舍去），
所以當(dāng)x=

1

2

時，y的值為

9

8

．
③當(dāng)y=

7

4

時，

1

2

x2-x+

3

2

=

7

4

，解得x1=1-

6

2

＜0（舍去），x2=1+

6

2

＞1（舍去），所以不符合．

（3）連接CP，則CP⊥AB，（如圖2，3）
∵AP=CP，∠A=∠PCN=45°，
∠APM+∠MPC=∠CPN+∠MPN=90°，
∴∠APM=∠CPN，△APM≌△CPN（ASA），
∴AM=CN，
則CM=BN，AM=CN=x，則CM=2-x，x2+(2-x)2=(

10

7

)2，
解得，x1=

8

7

，x2=

6

7

，即AM=

8

7

或

6

7

；
∴PM=

5

7

2

，AP=

2

，
∴周長為

8

7

+

12

7

2

或

6

7

+

12

7

2

．

點(diǎn)評：本題考查了三角形中位線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用以及一元二次方程的運(yùn)用，題目的綜合性很強(qiáng)，難度不小，對學(xué)生的解題能力要求很高．