Question

如圖, 已知拋物線與y軸相交于C，與x軸相交于A、B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-1）.

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)E是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作DE⊥x軸于點(diǎn)D，連結(jié)DC，當(dāng)△DCE的面積最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）在直線BC上是否存在一點(diǎn)P，使△ACP為等腰三角形，若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由.

 

Answer 1

解：（1）∵二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，0）C(0,－1)

∴

 解得： b=－  c=－1

∴二次函數(shù)的解析式為 

（2）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，0） （0＜m＜2）

∴ OD=m   ∴AD=2-m

由△ADE∽△AOC得，

∴

∴DE=

∴△CDE的面積=××m

==

當(dāng)m=1時(shí)，△CDE的面積最大

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，0）

（3）存在  由(1)知：二次函數(shù)的解析式為

設(shè)y=0則 解得：x₁=2  x₂=－1

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（－1，0）  C（0，－1）

設(shè)直線BC的解析式為：y=kx＋b

∴   解得：k=-1  b=-1

∴直線BC的解析式為: y=－x－1

在Rt△AOC中，∠AOC=90⁰  OA=2  OC=1

由勾股定理得：AC=

∵點(diǎn)B(－1,0)  點(diǎn)C（0，－1）

∴OB=OC  ∠BCO=45⁰

①當(dāng)以點(diǎn)C為頂點(diǎn)且PC=AC=時(shí)，

設(shè)P(k, －k－1)

過(guò)點(diǎn)P作PH⊥y軸于H

∴∠HCP=∠BCO=45⁰

CH=PH=∣k∣  在Rt△PCH中

k²+k²=  解得k₁=， k₂=－

∴P₁（，－） P₂（－，）

②以A為頂點(diǎn)，即AC=AP=

設(shè)P(k, －k－1)

過(guò)點(diǎn)P作PG⊥x軸于G

AG=∣2－k∣  GP=∣－k－1∣

在Rt△APG中  AG²＋PG²=AP²

（2－k)²+(－k－1)²=5

解得：k₁=1,k₂=0(舍)

∴P₃(1, －2)

③以P為頂點(diǎn)，PC=AP設(shè)P(k, －k－1)

過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥y軸于點(diǎn)Q

PL⊥x軸于點(diǎn)L

∴L(k,0)

∴△QPC為等腰直角三角形

  PQ=CQ=k

由勾股定理知

CP=PA=k                                                                 

∴AL=∣k-2∣, PL=｜－k－1｜

在Rt△PLA中

(k)²=(k－2)²＋(k＋1)²

解得：k=∴P₄(,－)

綜上所述： 存在四個(gè)點(diǎn)：P₁（，－） 

P₂（-，）   P₃(1, －2)    P₄(,－)