Question

【題目】如圖，二次函數(shù)的圖像與軸交于點(diǎn)A、B，與軸交于點(diǎn)C．

（1） ； ；

（2）點(diǎn)P為該函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖像上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)Q，連接PC，

①求線段PQ的最大值；

②若以P、C、Q為頂點(diǎn)的三角形與相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）①PQ的最大值是；②P的坐標(biāo)為或

【解析】試題分析：（1）設(shè)交點(diǎn)式y=a（x+1）（x-4），再展開可得到-4a=2，解得a=-，即可得到b的值；

（2）①作PN⊥x軸于N，交BC于M，如圖，先利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式為y=-x+2，設(shè)P（t，-t2+t+2），則M（t，-t+2），用t表示出PM=-t2+2t，再證明△PQM∽△BOC，利用相似比得到PQ=-t2+t，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題；②討論：當(dāng)∠PCQ=∠OBC時(shí)，△PCQ∽△CBO，PC∥x軸，利用對(duì)稱性可確定此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)∠CPQ=∠OBC時(shí)，△CPQ∽△CBO，則∠CPQ=∠MPQ，所以△PCM為等腰三角形，則PC=PM，利用兩點(diǎn)間的距離公式得到t2+（-t2+t+2-2）2=（-t2+2t）2，然后解方程求出t得到此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)．

試題解析：（1）設(shè)拋物線解析式為y=a(x+1)(x4)，

即y=ax23ax4a，

則4a=2,解得a=，

則b=-3a=；

（2）(2)①作PN⊥x軸于N，交BC于M，如圖，

BC=，

當(dāng)x=0時(shí)，y=-x2+x+2=2，則C(0，2)，

設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，

把C(0，2)，B(4，0)得，解得，

∴直線BC的解析式為y=x+2，

設(shè)P(t， t2+t+2)，則M(t， t+2)，

∴PM=t2+t+2(t+2)= t2+2t，

∵∠NBM=∠NPQ，

∴△PQM∽△BOC，

∴，即PQ=，

∴PQ=t2+t= (t2)2+，

∴當(dāng)t=2時(shí)，線段PQ的最大值為；

②當(dāng)∠PCQ=∠OBC時(shí),△PCQ∽△CBO，

此時(shí)PC∥OB,點(diǎn)P和點(diǎn)C關(guān)于直線x=對(duì)稱，

∴此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(3，2)；

當(dāng)∠CPQ=∠OBC時(shí)，△CPQ∽△CBO，

∵∠OBC=∠NPQ，

∴∠CPQ=∠MPQ，

而PQ⊥CM，

∴△PCM為等腰三角形，

∴PC=PM，

∴t2+(t2+t+22)2=(t2+2t)2，

解得t=，

此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(， )，

綜上所述,滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為(3，2)或(， ).