Question

拋物線y=ax²+bx+c與y軸交于點(diǎn)C（0，-2），與直線y=x交于點(diǎn)A（-2，-2），B（2，2）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖，線段MN在線段AB上移動（點(diǎn)M與點(diǎn)A不重合，點(diǎn)N與點(diǎn)B不重合），且MN=

2

，若M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，過點(diǎn)M作x軸的垂線與x軸交于點(diǎn)P，過點(diǎn)N作x軸的垂線與拋物線交于點(diǎn)Q．以點(diǎn)P，M，Q，N為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形？若能，請求出m的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）把C的坐標(biāo)代入求出c的值，把A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得到方程組，求出方程組的解即可求出拋物線的解析式；
（2）以點(diǎn)P，M，Q，N為頂點(diǎn)的四邊形能為平行四邊形，當(dāng)M在OA上，N在OB上時，以點(diǎn)P，M，Q，N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求出N的橫坐標(biāo)，求出NH、MH，根據(jù)勾股定理求出m即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c與y軸交于點(diǎn)C（0，-2），
代入得：c=-2，
∴y=ax²+bx-2，
把A（-2，-2），B（2，2）代入得：

-2=4a-2b-2 2=4a+2b-2

，
解得：

a= 1 2 b=1

，
∴y=

1

2

x²+x-2，
答：拋物線的解析式是y=

1

2

x²+x-2．

（2）∵M(jìn)N=

2

，點(diǎn)A，B都在直線y=x上，MN在直線AB上，MN在線段 AB上，M的橫坐標(biāo)為m．
如圖1，過點(diǎn)M作x軸的平行線，過點(diǎn)N作y軸的平行線，它們相交于點(diǎn)H．
∴△MHN是等腰直角三角形．
∴MH=NH=1．
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m+1，m+1）
①如圖2，當(dāng)m＜0時，PM=-m，
NQ=m+1-[

1

2

（m+1）²+m+1-2]=-

1

2

（m+1）²+2．
當(dāng)四邊形PMQN為平行四邊形時，PM=NQ．
∴-m=-

1

2

（m+1）²+2．
解得：m=

3

（不合題意舍去）或-

3

，
②如圖3，當(dāng)m＞0，PM=m，
NQ=m+1-[

1

2

（m+1）²+m+1-2]=-

1

2

（m+1）²+2．
當(dāng)四邊形PMQN為平行四邊形時，PM=NQ．
∴m=-

1

2

（m+1）²+2．
解得：m=-2-

7

（不合題意舍去）或

7

-2，
③∵直線AB過O，即直線經(jīng)過第一、三象限，
∴點(diǎn)M在第3象限點(diǎn)N在第1象限不存在；
∴當(dāng)m=-

3

或m=

7

-2時，以點(diǎn)P，M，Q，N為頂點(diǎn)的四邊形能為平行四邊形．

點(diǎn)評：本題主要考查對一次函數(shù)的性質(zhì)，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，解二元一次方程組，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理等知識點(diǎn)的理解和掌握，能用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式和得到MD=ND=|2m|是解此題的關(guān)鍵．