Question

已知，如圖1，過點(diǎn)作平行于軸的直線，拋物線上的兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為1和4，直線交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)分別作直線的垂線，垂足分別為點(diǎn)、，連接．

（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求證：；

（3）點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸右側(cè)圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，是否存在點(diǎn)使得與相似？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）       解:方法一，如圖1，

 

當(dāng)時(shí),

當(dāng)時(shí),

∴

設(shè)直線的解析式為

則　　　解得

∴直線的解析式為

當(dāng)時(shí),

方法二:求兩點(diǎn)坐標(biāo)同方法一,如圖2,

作,,垂足分別為、,交軸于點(diǎn),則四邊形和四邊形均為矩形,設(shè)

解得

(2)證明：方法一：在中，

在中，

由（1）得

方法二：由 （1）知

同理：

同理：

即

（3）存在.

解：如圖3，作軸，垂足為點(diǎn)

 

又

設(shè)，則

①當(dāng)時(shí)，

解得

②當(dāng)時(shí)，

解得

綜上，存在點(diǎn)、使得與相似.