Question

課本中把長與寬之比為的矩形紙片稱為標(biāo)準(zhǔn)紙．請解決下列問題：

（1）將一張標(biāo)準(zhǔn)紙ABCD(AB＜BC)對開，如圖1所示，所得的矩形紙片ABEF是標(biāo)準(zhǔn)紙．請給予證明．

（2）在一次綜合實(shí)踐課上，小明嘗試著將矩形紙片ABCD(AB＜BC)進(jìn)行如下操作：

  第一步：沿過A點(diǎn)的直線折疊，使B點(diǎn)落在AD邊上點(diǎn)F處，折痕為AE(如圖2甲)；第二步：沿過D點(diǎn)的直線折疊，使C點(diǎn)落在AD邊上點(diǎn)N處，折痕為DG(如圖2乙) ．

此時(shí)E點(diǎn)恰好落在AE邊上的點(diǎn)M處；

第三步：沿直線DM折疊(如圖2丙)，此時(shí)點(diǎn)G恰好與N點(diǎn)重合．

請你研究，矩形紙片ABCD是否是一張標(biāo)準(zhǔn)紙？請說明理由．

（3）不難發(fā)現(xiàn)，將一張標(biāo)準(zhǔn)紙如圖3一次又一次對開后，所得的矩形紙片都是標(biāo)準(zhǔn)紙．現(xiàn)有一張標(biāo)準(zhǔn)紙ABCD，AB_＝1，BC_＝，問第5次對開后所得標(biāo)準(zhǔn)紙的周長是多少？探索并直接寫出第2002次對開后所得標(biāo)準(zhǔn)紙的周長．

Answer 1

（1）是標(biāo)準(zhǔn)紙．理由如下：

  ∵矩形ABCD是標(biāo)準(zhǔn)紙，∴

    由對開的含義知：AF＝                             

    ∴

      ∴矩形紙片ABEF也是標(biāo)準(zhǔn)紙．   ------2’                          

（2）是標(biāo)準(zhǔn)紙．理由如下：設(shè)AB＝CD＝a

       由圖形折疊可知：DN＝CD＝DG＝a                         

            DG⊥EM

        ∵由圖形折疊可知：△ABE≌△AFE

        ∴∠DAE＝∠BAD＝45°

∴△ADG是等腰直角三角形                                

∴在Rt△ADG中，AD＝                  

∴

∴矩形紙片ABCD是一張標(biāo)準(zhǔn)紙      ------6’                       

（3）第2012次對開后所得的標(biāo)準(zhǔn)紙的周長為：      -----8’