Question

【題目】書籍開本有數(shù)學(xué)

開本指書刊幅面的規(guī)格大小．如圖①，將一張矩形印刷用紙對折后可以得到2開紙，再對折得到4開紙，以此類推可以得到8開紙、16開紙……

若這張矩形印刷用紙的短邊長為a．

（1）如圖②，若將這張矩形印刷用紙ABCD(ABBC)進(jìn)行折疊，使得BC與AB重合，點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，得到折痕BE；展開后，再次折疊該紙，使點(diǎn)A落在E處，此時(shí)折痕恰好經(jīng)過點(diǎn)B，得到折痕BG，求的值．

（2）如圖③，2開紙BCIH和4開紙AMNH的對角線分別是HC、HM．說明HC⊥HM．

（3）將圖①中的2開紙、4開紙、8開紙和16開紙按如圖④所示的方式擺放，依次連接點(diǎn)A、B、M、I，則四邊形ABMI的面積是________.（用含a的代數(shù)式表示，直接寫出結(jié)果）

Answer 1

【答案】

【解析】分析：（1）根據(jù)折疊得四邊形BCEF是正方形，BC=a，BE=，AB=BE=，故可求=；

（2）易求AHBH，．故，由∠A∠B90°，所以△MAH∽△HBC，得∠AHM∠BCH．易得∠MHC90°，所以HC⊥HM．

（3）

詳解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ABC∠C90°．

∵第一次折疊使點(diǎn)C落在AB上的F處，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B，

∴∠CBE∠FBE45°，

∴∠CBE∠CEB45°，

∴BCCEa，BE．

∵第二次折疊紙片，使點(diǎn)A落在E處，得到折痕BG，

∴ABBE，

∴．

（2）根據(jù)題意和（1）中的結(jié)論，有AHBH，．

∴．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A∠B90°，

∴△MAH∽△HBC，

∴∠AHM∠BCH．

∵∠BCH∠BHC90°，

∴∠AHM∠BHC90°，

∴∠MHC90°，

∴HC⊥HM．

（3）．