Question

（2013•嘉興）小明在做課本“目標(biāo)與評(píng)定”中的一道題：如圖1，直線a，b所成的角跑到畫(huà)板外面去了，你有什么辦法量出這兩條直線所成的角的度數(shù)？小明的做法是：如圖2，畫(huà)PC∥a，量出直線b與PC的夾角度數(shù)，即直線a，b所成角的度數(shù)．

（1）請(qǐng)寫(xiě)出這種做法的理由；
（2）小明在此基礎(chǔ)上又進(jìn)行了如下操作和探究（如圖3）：①以P為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓弧，分別交直線b，PC于點(diǎn)A，D；②連結(jié)AD并延長(zhǎng)交直線a于點(diǎn)B，請(qǐng)寫(xiě)出圖3中所有與∠PAB相等的角，并說(shuō)明理由；
（3）請(qǐng)?jiān)趫D3畫(huà)板內(nèi)作出“直線a，b所成的跑到畫(huà)板外面去的角”的平分線（畫(huà)板內(nèi)的部分），只要求作出圖形，并保留作圖痕跡．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出即可；
（2）根據(jù)題意，有3個(gè)角與∠PAB相等．由等腰三角形的性質(zhì)，可知∠PAB=∠PDA；又對(duì)頂角相等，可知∠BDC=∠PDA；由平行線性質(zhì)，可知∠PDA=∠1．因此∠PAB=∠PDA=∠BDC=∠1；
（3）作出線段AB的垂直平分線EF，由等腰三角形的性質(zhì)可知，EF是頂角的平分線，故EF即為所求作的圖形．

解答：解：（1）PC∥a（兩直線平行，同位角相等）；

（2）∠PAB=∠PDA=∠BDC=∠1，
如圖，∵PA=PD，
∴∠PAB=∠PDA，
∵∠BDC=∠PDA（對(duì)頂角相等），
又∵PC∥a，
∴∠PDA=∠1，
∴∠PAB=∠PDA=∠BDC=∠1；

（3）如圖，作線段AB的垂直平分線EF，則EF是所求作的圖形．

點(diǎn)評(píng)：本題涉及到的幾何基本作圖包括：（1）過(guò)直線外一點(diǎn)作直線的平行線，（2）作線段的垂直平分線；涉及到的考點(diǎn)包括：（1）平行線的性質(zhì)，（2）等腰三角形的性質(zhì)，（3）對(duì)頂角的性質(zhì)，（4）垂直平分線的性質(zhì)等．本題借助實(shí)際問(wèn)題場(chǎng)景考查了學(xué)生的幾何基本作圖能力，是一道好題．題目篇幅較長(zhǎng)，需要仔細(xì)閱讀，理解題意，正確作答．