Question

【題目】已知P（﹣3，m）和 Q（1，m）是拋物線y=x2+bx﹣3上的兩點．

（1）求b的值；

（2）將拋物線y=x2+bx﹣3的圖象向上平移k（是正整數(shù)）個單位，使平移后的圖象與x軸無交點，求k的最小值；

（3）將拋物線y=x2+bx﹣3的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象，請你結合新圖象回答：當直線y=x+n與這個新圖象有兩個公共點時，求n的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）5；（3）n＞或﹣1＜n＜3

【解析】

試題分析：（1）直接把點P，Q的坐標代入拋物線方程聯(lián)立方程組求解b的值；

（2）利用圖象與x軸無交點，則b2﹣4ac＜0，即可求出k的取值范圍，進而得出k的值．

（3）求出兩個邊界點，繼而可得出n的取值范圍．

解：（1）∵P（﹣3，m）和 Q（1，m）是拋物線y=x2+bx﹣3上的兩點，

∴，解得：b=2；

（2）平移后拋物線的關系式為y=x2+2x﹣3+k．

要使平移后圖象與x軸無交點，

則有b2﹣4ac=4﹣4（﹣3+k）＜0，

k＞4．

因為k是正整數(shù)，所以k的最小值為5．

（3）令x2+2x﹣3=0，

解之得：x1=1，x2=﹣3，

故P，Q兩點的坐標分別為A（1，0），B（﹣3，0）．

如圖，當直線y=x+n（n＜1），

經過P點時，可得n=3，

當直線y=x+n經過Q點時，

可得n=﹣1，

∴n的取值范圍為﹣1＜n＜3，

翻折后的二次函數(shù)解析式為二次函數(shù)y=﹣x2﹣2x+3

當直線y=x+n與二次函數(shù)y=﹣x2﹣2x+3的圖象只有一個交點時，

x+n=﹣x2﹣2x+3，

整理得：x2+3x+n﹣3=0，

△=b2﹣4ac=9﹣4（n﹣3）=21﹣4n=0，

解得：n=，

∴n的取值范圍為：n＞，

由圖可知，符合題意的n的取值范圍為：n＞或﹣1＜n＜3．