Question

【題目】如圖，在直角坐標(biāo)平面xOy內(nèi)，點(diǎn)A（6，0）、C（﹣4，0），過(guò)點(diǎn)A作直線AB，交y軸的正半軸于點(diǎn)B，且AB＝10，點(diǎn)P是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)和直線AB的表達(dá)式；

（2）若以A、P、C為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）直線AB的表達(dá)式為y＝﹣x+8；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣4，）或（，）．

【解析】

（1）由點(diǎn)A的坐標(biāo)可得出OA的長(zhǎng)，利用勾股定理可求出OB的長(zhǎng)，結(jié)合點(diǎn)B在y軸正半軸上即可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，由點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求出直線AB的解析式；

（2）分△AOB∽△ACP和△AOB∽△APC兩種情況考慮：①當(dāng)△AOB∽△ACP時(shí)，∠ACP1＝∠AOB＝90°，利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)P1的坐標(biāo)；②當(dāng)△AOB∽△APC時(shí)，設(shè)點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（m，﹣m+8），利用相似三角形的性質(zhì)可求出CP2的長(zhǎng)，結(jié)合點(diǎn)C的坐標(biāo)可得出關(guān)于m的方程，解之即可得出點(diǎn)P2的坐標(biāo)．綜上，此題得解．

解：（1）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，0），

∴OA＝6，

∴OB＝＝8．

∵點(diǎn)B在y軸的正半軸，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，8）．

設(shè)直線AB的表達(dá)式為y＝kx+b（k≠0），

將A（6，0），B（0，8）代入y＝kx+b，得：，

解得：，

∴直線AB的表達(dá)式為y＝﹣x+8．

（2）分兩種情況考慮，如圖所示．

①當(dāng)△AOB∽△ACP時(shí)，∠ACP1＝∠AOB＝90°，

當(dāng)x＝﹣4時(shí)，y＝﹣x+8＝，

∴點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（﹣4，）；

②當(dāng)△AOB∽△APC時(shí)，設(shè)點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（m，﹣m+8）．

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣4，0），

∴AC＝10．

∵△AOB∽△AP2C，

∴＝，即＝，

∴CP2＝8，

∴＝8，

整理，得：（m﹣4）2＝0，

解得：m＝，

∴點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（，）．

綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣4，）或（，）．