Question

正方形ABCD的邊長為1，E、F兩點(diǎn)分別位于BC、CD上，DF=m，BE=n，∠EAF=45°，△EFC的內(nèi)切圓的半徑為r．
（1）證明：EF=m+n；
（2）證明：（m+1）（n+1）=2；
（3）若m＜n，r=

1

6

求m、n的值．

Answer 1

分析：（1）作出輔助線，證出△AGB≌△AFD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出AG=AF，∠GAB=∠FAD，再進(jìn)一步證出
再證出△EAG≌△EAF，得到EG=EF，然后即可求出EF的長．
（2）找到Rt△FEC，將各邊用含m的代數(shù)式表示，利用勾股定理解答．
（3）根據(jù)三角形的面積相等列出關(guān)于m、n的等式，結(jié)合（2）的結(jié)論，即可求出m、n的值．

解答：（1）證明：延長CB至G，使BG=DF，連接AG．
在△AGB和△AFD中，
∵AB=AD，∠ABG=∠ADF，BG=DF，
∴△AGB≌△AFD，
∴AG=AF，∠GAB=∠FAD，
又∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠FAD=∠BAE+∠GAB=45°，
∴∠EAG=∠EAF=45°，
在△EAG和△EAF中，
∵AE=AE，∠EAG=∠EAF，AG=AF，
∴△EAG≌△EAF，
∴EG=EF，
又∵EG=EB+BG=BE+DF=n+m，
∴EF=m+n．

（2）在Rt△FEC中，
∵EF²=CE²+CF²，
∴（m+n）²=（1-n）²+（1-m）²，
展開整理得mn+m+n=1，
兩邊同加上1，左邊因式分解得（m+1）（n+1）=2．

（3）∵S_△EFC=

1

2

（CE+CF+EF）r，
∴當(dāng)r=

1

6

時(shí)得，

1

2

（1-m）（1-n）=

1

2

[（1-m）+（1-n）+（m+n）]×

1

6

，
整理得（1-m）（1-n）=

1

3

，
結(jié)合第2問結(jié)論：
（m+1）（n+1）=2消元得m=

1

2

，n=

1

3

；m=

1

3

，n=

1

2

．
∵m＜n，
∴m=

1

3

，n=

1

2

．

點(diǎn)評：此題是一道圓、正方形和三角形相結(jié)合的題目，綜合性較強(qiáng)．
（1）解答此小題時(shí)，要運(yùn)用全等三角形的知識；
（2）運(yùn)用勾股定理是解答此題的關(guān)鍵；
（3）根據(jù)三角形的面積不變列出等式是常用的解答此類問題方法．