Question

如圖，l₁，l₂，l₃，l₄是同一平面內的四條平行直線，且每相鄰的兩條平行直線間的距離為h，正方形ABCD的四個頂點分別在這四條直線上，且正方形ABCD的面積是25．
（1）連接EF，證明△ABE、△FBE、△EDF、△CDF的面積相等．
（2）求h的值．

Answer 1

分析：（1）△ABE和△FBE同底同高，因而面積相等，同理△FBE和△EDF的面積相等，△EDF和△CDF的面積相等，因而△ABE、△FBE、△EDF、△CDF的面積相等．
（2）根據(jù)正方形的面積就可以求出邊長，得到AE，AB的長，根據(jù)勾股定理得到BE的長，△ABE的面積是長方形的面積的

1

4

，再根據(jù)三角形的面積等于

1

2

BE•h就可以求出h的長．

解答：（1）證明：連接EF，
∵l₁∥l₂∥l₃∥l₄，且四邊形ABCD是正方形，
∴BE∥FD，BF∥ED，
∴四邊形EBFD為平行四邊形，
∴BE=FD，（2分）
又∵l₁、l₂、l₃和l₄之間的距離為h，
∴S_△ABE=

1

2

BE•h，S_△FBE=

1

2

BE•h，
S_△EDF=

1

2

FD•h，S_△CDF=

1

2

FD•h，
∴S_△ABE=S_△FBE=S_△EDF=S_△CDF．（4分）

（2）解：過A點作AH⊥BE于H點，過E點作EM⊥FD于M點，
方法一：∵S_△ABE=S_△FBE=S_△EDF=S_△CDF，
又∵正方形ABCD的面積是25，
∴S_△ABE=

25

4

，且AB=AD=5，（7分）
又∵l₁∥l₂∥l₃∥l₄，每相鄰的兩條平行直線間的距離為h，
∴AH=EM=h，
∵AH⊥l₂，EM⊥l₃，l₂∥l₃，
∴∠3=∠4=90°，AH∥EM，
∴∠1=∠2，
∴△AHE≌△EMD，
∴AE=DE，
同理：BF=FC，
∴E、F分別是AD與BC的中點，
∴AE=

1

2

AD=

5

2

，
∴在Rt△ABE中，
BE=

AB2+AE2

=

5 5

2

，（10分）
又∵AB•AE=BE•AH，
∴AH=

AB•AE

BE

=

5× 5 2

5 5 2

=

5

．（12分）
方法二：不妨設BE=FD=x（x＞0），
則S_△ABE=S_△FBE=S_△EDF=S_△CDF=

xh

2

，（6分）
又∵正方形ABCD的面積是25，
∴S_△ABE=

1

2

xh=

25

4

，且AB=5，
則xh=

25

2

①，（8分）
又∵在Rt△ABE中：AE=

BE2-AB2

=

x2-52

，
又∵∠BAE=90°，AH⊥BE，
∴Rt△ABE∽Rt△HAE，
∴

AH

AB

=

AE

BE

，即

h

5

=

x2-52

x

，
變形得：（hx）²=25（x²-5²）②（10分），
把①兩邊平方后代入②得：

252

4

=25（x²-5²）③，
解方程③得x=

5 5

2

（x=-

5 5

2

舍去），
把x=

5 5

2

代入①得：h=

5

．（12分）

點評：本題主要考查了勾股定理，根據(jù)三角形的面積公式得到四個三角形的面積相等是解決本題的關鍵．