Question

【題目】（1）問題背景：

如圖1，在正方形ABCD中，點M，N分別在邊BC，CD上，連接MN，且∠MAN＝45°，將△ADN繞點A順時針旋轉90°，得到△ABG，可證△AMG≌△AMN，易得線段MN、BM、DN之間的數(shù)量關系為：　 　（直接填寫）；

（2）實踐應用：

在平面直角坐標系中，邊長為5的正方形OABC的兩頂點分別在y軸、x軸的正半軸上，O在原點．現(xiàn)將正方形OABC繞點O按順時針方向旋轉，旋轉角為θ，當點A第一次落在直線y＝x上時停止旋轉，旋轉過程中，AB邊交直線y＝x于點M，BC邊交x軸于點N．如圖2，設△MBN的周長為P，在旋轉正方形OABC的過程中，P值是否有變化？請證明你的結論；

（3）拓展研究：

如圖3，將正方形改為長與寬不相等的矩形，且∠MAN＝∠CMN＝45°，請你直接寫出線段MN、BM、DN之間的數(shù)量關系．

Answer 1

【答案】（1）MN＝BM+DN；（2）在旋轉正方形OABC的過程中，P值不變；（3）MN2＝2BM2+2DN2 ，理由見解析．

【解析】

（1）由旋轉的性質可得出DN＝BG，由全等的性質可得出MG＝MN，結合MG＝BM+BG即可得出MN＝BM+DN；

（2）將△AOM繞點O順時針旋轉90°，得到△COE，易證△MON≌△EON（SAS），利用全等三角形的性質可得出MN＝EN＝CN+AM，再利用三角形的周長公式結合正方形的邊長，即可求出S的值；

（3）將△ABM繞點O逆時針旋轉90°，得到△AB′M′，則△AMN≌△AM′N，利用全等三角形的性質可得出M′N＝MN，由∠C＝90°，∠CMN＝45°可得出CM＝CN，設BM＝a，DN＝b，CM＝c，則AD＝a+c，CD＝b+c，進而可得出M′F＝a﹣b，NF＝b+a，在Rt△M′FN中，利用勾股定理可求出M′N2＝2a2+2b2，進而可得出MN2＝2BM2+2DN2．

解：（1）由旋轉，可知：DN＝BG．

∵△AMG≌△AMN，

∴MG＝MN．

∵MG＝BM+BG＝BM+DN，

∴MN＝BM+DN．

故答案為：MN＝BM+DN．

（2）在旋轉正方形OABC的過程中，P值不變．

證明：在圖2中，將△AOM繞點O順時針旋轉90°，得到△COE．

由旋轉，可知：OM＝OE，AM＝CE，∠AOM＝∠COE，∠MOE＝90°．

∵直線OM的解析式為y＝x，

∴∠MON＝45°．

∵∠MOE＝90°，

∴∠EON＝45°．

在△MON和△EON中，

，

∴△MON≌△EON（SAS），

∴MN＝EN＝CN+AM．

∴S＝BM+BN+MN＝BM+AM+BN+CN＝2AB＝10，

∴在旋轉正方形OABC的過程中，P值不變．

（3）MN2＝2BM2+2DN2．理由如下：

在圖3中，將△ABM繞點O逆時針旋轉90°，得到△AB′M′．

由（2）可知△AMN≌△AM′N，

∴M′N＝MN．

∵∠C＝90°，∠CMN＝45°，

∴CM＝CN．

設BM＝a，DN＝b，CM＝c，則AD＝a+c，CD＝b+c，

∴M′F＝AD﹣AB′＝AD﹣AB＝a+c﹣（b+c）＝a﹣b，

NF＝DN+DF＝DN+B′M′＝DN+BM＝b+a．

在Rt△M′FN中，M′N2＝M′F2+NF2＝（a﹣b）2+（a+b）2＝2a2+2b2，

∴MN2＝2BM2+2DN2．