Question

已知二次函數(shù)y=a（x+p）²+4的圖象是由函數(shù)y=

1

2

x2+2x+q的圖象向左平移一個(gè)單位得到．反比例函數(shù)y=

m

x

與二次函數(shù)y=a（x+p）²+4的圖象交于點(diǎn)A（1，n）．
（1）求a，p，q，m，n的值；
（2）要使反比例函數(shù)和二次函數(shù)y=a（x+p）²+4在直線x=t的一側(cè)都是y隨著x的增大而減小，求t的最大值；
（3）記二次函數(shù)y=a（x+p）²+4圖象的頂點(diǎn)為B，以AB為邊構(gòu)造矩形ABCD，邊CD與函數(shù)y=

m

x

相交，且直線AB與CD的距離為

5

，求出點(diǎn)D，C的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）先將函數(shù)y=

1

2

x2+2x+q配方，即可得到頂點(diǎn)坐標(biāo)（-2，q-2），根據(jù)平移的性質(zhì)可得a=

1

2

，p=3，q=6，再把x=1，y=n代入y=

1

2

(x+3)2+4，把x=1，y=12代入y=

m

x

可求m，n的值；
（2）根據(jù)反比例函數(shù)的增減性，二次函數(shù)y=

1

2

(x+3)2+4的對稱軸和增減性，即可求得t的最大值；
（3）過點(diǎn)A作直線l∥x軸，作DF⊥l于F，BE⊥l于E．，根據(jù)勾股定理，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，即可求得點(diǎn)D，C的坐標(biāo)．

解答：解：（1）y=

1

2

x2+2x+q=

1

2

(x2+4x)+q=

1

2

(x+2)2+q-2，頂點(diǎn)坐標(biāo)（-2，q-2）
（或用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式）
∴a=

1

2

，p=3，q=6，
把x=1，y=n代入y=

1

2

(x+3)2+4得n=12；
把x=1，y=12代入y=

m

x

得m=12；

（2）∵反比例函數(shù)y=

12

x

在圖象所在的每一象限內(nèi)，y隨著x的增大而減小
而二次函數(shù)y=

1

2

(x+3)2+4的對稱軸為：直線x=-3
要使二次函數(shù)y=

1

2

(x+3)2+4滿足上述條件，x≤-3
∴t的最大值為-3；

（3）如圖，過點(diǎn)A作直線l∥x軸，作DF⊥l于F，BE⊥l于E．
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-3，4），A（1，12）
∴AE=4，BE=8
∵BE⊥l，
∴AB=

AE2+BE2

=4

5

；
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∴∠EAB+∠FAD=90°
∵BE⊥l于E，
∴∠EAB+∠EBA=90°
∴∠FAD=∠EBA
∴Rt△EBA∽Rt△FAD
∴

AB

AE

=

AD

FD

又∵AD=

5

，
∴FD=1
同理：AF=2 
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，11）
同理可求點(diǎn)C（-1，3）．

點(diǎn)評：考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識點(diǎn)有：配方法的應(yīng)用，平移的性質(zhì)，反比例函數(shù)的增減性，二次函數(shù)的增減性，勾股定理，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．