Question

（2012•合川區(qū)模擬）如圖，二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象與x軸交于點B（-3，0），與y軸交于點C（0，-3）．
（1）求直線BC及二次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)拋物線的頂點為D，與x軸的另一個交點為A．點P在拋物線的對稱軸上，且∠APD=∠ACB，求點P的坐標(biāo)；
（3）連接CD，求∠OCA與∠OCD兩角和的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法求直線BC的解析式即可；把點B、C的坐標(biāo)代入二次函數(shù)，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式解答；
（2）根據(jù)拋物線解析式求出頂點D的坐標(biāo)，再根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求出點A的坐標(biāo)，連接AD，然后求出∠ADP=∠ABC=45°，然后證明△ADP和△ABC相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列出比例式求出PD的長度，從而得解；
（3）連接BD，利用勾股定理求出BD、BC的長度，再求出∠CBD=90°，然后根據(jù)∠BCD與∠ACO的正切值相等可得∠BCD=∠ACO，從而得到∠OCA與∠OCD的和等于∠BCO，是45°．

解答：解：（1）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+m，
∵點B（-3，0），點C（0，-3），
∴

-3k+m=0 m=-3

，
解得

k=-1 m=-3

，
所以，直線BC的解析式為y=-x-3，
∵二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象經(jīng)過點B（-3，0），點C（0，-3），
∴

-9-3b+c=0 c=-3

，
解得

b=-4 c=-3

，
∴二次函數(shù)的解析式為y=-x²-4x-3；

（2）∵y=-x²-4x-3=-（x+2）²+1，
∴拋物線的頂點D（-2，1），對稱軸為x=-2，
∵A、B關(guān)于對稱軸對稱，點B（-3，0），
∴點A的坐標(biāo)為（-1，0），
AB=-1-（-3）=-1+3=2，
BC=

32+32

=3

2

，
連接AD，則AD=

12+[-1-(-2)]2

=

2

，
tan∠ADP=

1

(-1)-(-2)

=1，
∴∠ADP=45°，
又∵B（-3，0），C（0，-3），
∴△OAC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
∴∠ADP=∠ABC=45°，
又∵∠APD=∠ACB，
∴△ADP∽△ABC，
∴

DP

BC

=

AD

AB

，
即

DP

3 2

=

2

2

，
解得DP=3，
點P到x軸的距離為3-1=2，
點P的坐標(biāo)為（-2，-2）；

（3）連接BD，∵B（-3，0），D（-2，1），
∴tan∠DBA=

1

-2-(-3)

=1，
∴∠DBA=45°，
根據(jù)勾股定理，BD=

12+[-2-(-3)]2

=

2

，
又∵∠ABC=45°，
∴∠DBC=45°×2=90°，
∴tan∠BCD=

BD

BC

=

2

3 2

=

1

3

，
又∵tan∠OCA=

AO

CO

=

1

3

，
∴∠BCD=∠OCA，
∴∠OCA+∠OCD=∠BCD+∠OCD=∠OCB，
∵B（-3，0），C（0，-3），
∴△OAC是等腰直角三角形，
∴∠OCB=45°，
即∠OCA與∠OCD兩角和是45°．

點評：本題是對二次函數(shù)的綜合考查，主要利用了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的對稱性，解直角三角形，勾股定理，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，利用數(shù)據(jù)的特殊性求出等腰直角三角形得到45°角，然后找出相等的角是解題的關(guān)鍵．