Question

（1）如圖1，直線(xiàn)AB交x軸于點(diǎn)A（2，0），交拋物線(xiàn)y=ax²于點(diǎn)B（1，），點(diǎn)C到△OAB各頂點(diǎn)的距離相等，直線(xiàn)AC交y軸于點(diǎn)D．當(dāng)x＞0時(shí)，在直線(xiàn)OC和拋物線(xiàn)y=ax²上是否分別存在點(diǎn)P和點(diǎn)Q，使四邊形DOPQ為特殊的梯形？若存在，求點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．
（2）在（1）題中，拋物線(xiàn)的解析式和點(diǎn)D的坐標(biāo)不變（如圖2）．當(dāng)x＞0時(shí)，在直線(xiàn)y=kx（0＜k＜1）和這條拋物線(xiàn)上，是否分別存在點(diǎn)P和點(diǎn)Q，使四邊形DOPQ為以O(shè)D為底的等腰梯形．若存在，求點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為y=k₁x+b₁經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，0），
B（1，），
∴，解得，
∴y=-x+2，
拋物線(xiàn)y=ax²經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（1，），
又∵點(diǎn)C到△ABC各頂點(diǎn)的距離相等，即點(diǎn)C是△OAB三邊的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)，連接BC，并延長(zhǎng)交OA于E，
∴BE⊥OA，OE=AE，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，0），
在Rt△OEC中，CE=OE•tan30°=，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，）；
設(shè)直線(xiàn)OC的解析式為y=k₂x，
∴=k₂×1，k₂=，∴y=x，
設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為y=k₃x+b₂，
∴，解得，
∴y=-x+，
∵直線(xiàn)AC交y軸于點(diǎn)D，則點(diǎn)D（0，），CD=．
當(dāng)OD∥PQ時(shí)，①DQ=OP時(shí)，四邊形DOPQ為等腰梯形，如圖1，
由題意得，得△OCD為等邊三角形，∠CDO=∠COD，
∴Q是直線(xiàn)AD與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)，
∴-x+=x²，解得x₁=-1（舍去），x₂=，
當(dāng)x=時(shí)，x²=，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，），
當(dāng)x=時(shí)，=，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）
②∠ODQ=90°時(shí)，四邊形DOPQ為直角梯形（如圖2），
過(guò)點(diǎn)D（0，）且平行于x軸的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)y=x²于點(diǎn)Q，=x²，解得x=±（負(fù)值舍去），
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，），把x=代入直線(xiàn)y=x中，得y=，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）；
當(dāng)DQ∥OP時(shí)，①OD=PQ時(shí)，四邊形DOPQ是等腰梯形，如圖1，
過(guò)點(diǎn)D（0，）且平行于OC的直線(xiàn)為y=x+，交拋物線(xiàn)y=x²于點(diǎn)Q，
∴x+=x²，解得x₁=1或x₂=-（舍去），
把x=1代入y=x²中，得y=，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，）（與點(diǎn)B重合），
又∵△OCD是等邊三角形，∠DOC=∠BPO=60°，
設(shè)過(guò)點(diǎn)Q（1，）且平行于AD的直線(xiàn)y=-x+b，交OC于點(diǎn)P，則b=，
∴y=-x+，
∴-x+=x，解得x=2，
把x=2代入y=-x+中，y=，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，）；
②∠OPQ=90°時(shí)，四邊形DOPQ為直角梯形，
由上解的知，點(diǎn)Q的坐標(biāo)（1，）（于點(diǎn)B重合），過(guò)B與OC垂直的直線(xiàn)為AB，設(shè)OC與AB的交點(diǎn)為P，
∴，解得，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，），
綜上所述：當(dāng)P₁（，）、Q₁（，）和P₂（2，）、Q₂（1，）（與點(diǎn)B重合）時(shí)，四邊形DOPQ為等腰梯形；當(dāng)P₃（，）、Q₃（，）和P₄（，）、Q₄（1，）（與點(diǎn)B重合）時(shí)，四邊形DOPQ為直角梯形；

（2）由（1）知點(diǎn)D（0，），拋物線(xiàn)y=x²，設(shè)G為OD的中點(diǎn)，G（0，），過(guò)點(diǎn)G作GH⊥y軸，交直線(xiàn)y=kx于點(diǎn)H，連接DH，
∴H（，），
設(shè)直線(xiàn)DH為y=k′x+b′，
∴，解得．
直線(xiàn)DH與拋物線(xiàn)y=x²相交于點(diǎn)Q，
∴x²=-kx+，解得x==（負(fù)值舍去），
Q點(diǎn)坐標(biāo)為{，}
P點(diǎn)坐標(biāo)為{，}．
分析：利用已知可以首先求出AD直線(xiàn)的解析式，再利用特殊梯形只有直角梯形與等腰梯形，分別討論可以求出．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，并且利用等邊三角形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度較大．