Question

（2013•香坊區(qū)三模）直角三角形ABC中，∠C=9O°，P、E分別是邊AB、BC上的點，D為△ABC外一點，DE⊥BC，DE=EC，tan∠DBE=

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，∠BDE=∠PEC，AD∥PE，AB=6，則線段AC的長為

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．

Answer 1

分析：作DF⊥AC，交AC的延長線于F點，易證得四邊形CECF為矩形，由DE=EC，可判斷四邊形CECF為正方形，則DE=DF；再利用PE∥AD，EC∥DF得∠1=∠PEC，∠1=∠2，則∠2=∠PEC，而∠BDE=∠PEC，代換后得∠BDE=∠2，然后根據(jù)“AAS”判斷△BDE≌△ADF，于是BE=AF，即2DE=AC+DF=AC+DE，可計算出DE=AC，最后利用勾股定理計算即可．

解答：解：作DF⊥AC，交AC的延長線于F點，如圖，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=∠BED=90°，
而∠ACB=90°，
∴四邊形CECF為矩形，
∵DE=EC，
∴四邊形CECF為正方形，
∴DE=DF，
∵PE∥AD，EC∥DF，
∴∠1=∠PEC，∠1=∠2，
∴∠2=∠PEC，
∵∠BDE=∠PEC，
∴∠BDE=∠2，
在△BDE和△ADF中，

∠BED=∠F ∠BDE=∠2 DE=DF

，
∴△BDE≌△ADF（AAS），
∴BE=AF，
∵tan∠DBE=

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，
∴BE=2DE，
∴2DE=AC+CF，
∴DE=AC，
設AC=x，則BC=3x，
∴x²+9x²=36，
解得：x=

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，
∴AC=

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．
故答案為：

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點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質以及勾股定理和正方形的判定等知識，根據(jù)已知得出DE=AC是解題關鍵．