Question

如果a為不等于±2的整數(shù)，證明方程x⁴+ax+1=0沒(méi)有有理根．

Answer 1

證明：若a=2或者-2，方程有有理根，
當(dāng)=2時(shí)，有理根x=-1；等于-2時(shí)，有理根x=1．這個(gè)根據(jù)配方法得來(lái)．
x⁴±2x+1=0，即x⁴-x²+x²±2x+1=x²（x+1）（x-1）+（x±1）²=0，此等式有公因式，可得x=±1．
而由題意知：a≠±2，即x≠±1．
則有a=-=-x³-，其中x≠±1．
a為整數(shù)，而a=-x³-，若x為整數(shù)且x≠±1，那么x³為整數(shù)，為小數(shù)，整數(shù)與小數(shù)之和或者差，皆為小數(shù)，故x不能是整數(shù)．
若x為分?jǐn)?shù)，那么設(shè)x=，其中c、b互質(zhì)且為整數(shù)，b≠0．
那么-x³-=-=-．由此代數(shù)式知：因?yàn)閏、b互質(zhì)，故此代數(shù)式的值不為整數(shù)．
故當(dāng)x為整數(shù)或者分?jǐn)?shù)時(shí)，a為整數(shù)均不能成立．
故當(dāng)a為整數(shù)時(shí)，方程沒(méi)有有理根．
分析：首先用x表示出a，即a=-x³-，再進(jìn)一步分析x的取值，x不是整數(shù)，若x為分?jǐn)?shù)，那么設(shè)x=，其中c、b互質(zhì)且為整數(shù)，從而確定x的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一元二次方程有理根以及整數(shù)根的有關(guān)知識(shí)，以及兩數(shù)互質(zhì)問(wèn)題，綜合性較強(qiáng)．