Question

如圖，在平面坐標系中有一正三角形ABC，A（-8，0）、B（8，0），直線l經過原點O及BC的中點D，另一動直線a平行于y軸，從原點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿x軸向右平移，直線a分別交線段BC、直線l于點E、F，以EF為邊向左側作等邊△EFG，設△EFG與△ABC重疊部分的面積為S（平方單位），當點G落在y軸上時，a停止運動，設直線a的運動時間為t（秒）．
（1）直接寫出：C點坐標

 

，直線l的解析式：

 

．
（2）請用含t的代數(shù)式表示線段EF；
（3）求出S關于t的函數(shù)關系式及t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由勾股定理求出OC，得到C的坐標，根據(jù)三角形的中位線定理得出D的坐標，設直線l的解析式是y=kx，把D的坐標代入即可求出解析式；
（2）OP=t，則BP=8-t，根據(jù)勾股定理求出EP和FP即可求出EF；
（3）當EF在y軸時，t=0；當G落在y軸時，a停止運動，此時t=3即可得到t的范圍；當G落在AC邊上時，t=2，當0≤t＜2時，重疊部分為四邊形，根據(jù)三角形的面積公式即可求出S=-3

3

t²+24

3

；當2≤t≤3時，重疊部分就是三角形GEF，根據(jù)三角形的面積公式即可求出S．

解答：解：（1）∵等邊△ABC，AC=AB=8+8=16，
∴由勾股定理得：OC=

AC2-OA2

=

162-82

=8

3

，
∴C點坐標（0，8

3

），
設直線l的解析式是y=kx（k≠0），
過D作DM⊥x軸，交x軸于點M，
∵D為BC的中點，DM∥CO，
∴M為OB的中點，又OC=8

3

，OB=8，
∴DM=4

3

，OM=4，
∴D的坐標為（4，4

3

），
把D點的坐標代入得：k=

3

，
直線l的解析式：y=

3

x，
故答案為：（0，8

3

），y=

3

x．

（2）解：OP=t，則BP=8-t，
在Rt△OPF中，∠FPO=60°∴PF=

3

t，
在Rt△EPB中，∠PBE=60°∴EP=

3

（8-t），
∴EF=EP-FP=

3

（8-t）-

3

t=8

3

-2

3

t，
答：用含t的代數(shù)式表示線段EF為：8

3

-2

3

t．

（3）解：當EF在y軸時，t=0；
當G落在y軸時，a停止運動，此時t=3
∴t的取值范圍是：0≤t≤3，
當G落在AC邊上時，t=2，
當0≤t＜2時，重疊部分為四邊形，S=S_△EFG-S_△GMN=-3

3

t²+24

3

，
當2≤t≤3時，重疊部分就是三角形GEF，S=S_△GEF=3

3

（4-t）²．
答：S關于t的函數(shù)關系式是S=-3

3

t²+24

3

或S=3

3

（4-t）²，t的取值范圍是0≤t≤3．

點評：本題主要考查對三角形的面積，一次函數(shù)的性質，用待定系數(shù)法求正比例函數(shù)的解析式，三角形的中位線定理，勾股定理等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質進行計算是解此題的關鍵，題型較好，難度適中．