Question

已知，如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作CE⊥AD，垂足為E，CE的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作EG∥BC交AB于點(diǎn)G，AE•AD=16，AB=4

5

．
（1）求AC的長(zhǎng)；
（2）求EG的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）∠CAD是公共角，∠ACB=∠AEC=90°，所以△ACE和△ADC相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，列出比例式整理即可得到AC²=AE•AD，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可；
（2）根據(jù)勾股定理求出BC的長(zhǎng)度為8，再根據(jù)AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D，CE⊥AD證明△ACE和△AFE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，CE=EF，最后根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半EG=

1

2

BC．

解答：解：（1）∵CE⊥AD，
∴∠AEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠AEC=∠ACB，
又∠CAE=∠CAE，
∴△ACE∽△ADC，
∴

AC

AE

=

AD

AC

，
即AC²=AE•AD，
∵AE•AD=16，
∴AC²=16，
∴AC=4；

（2）在△ABC中，BC=

AB2-AC2

=

(4 5 )2-42

=8，
∵AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D，
∴∠CAE=∠FAE，
∵CE⊥AD，
∴∠AEC=∠AEF=90°，
在△ACE和△AFE中，

∠CAE=∠FAE AE=AE ∠AEC=∠AEF=90°

，
∴△ACE≌△AFE（ASA），
∴CE=EF，
∵EG∥BC，
∴EG=

1

2

BC=

1

2

×8=4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似，相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵，難度適中．