Question

如圖1，已知∠ABC=90°，△ABE是等邊三角形，點(diǎn)P為射線BC上任意一點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)B不重合），連接AP，將線段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AQ，連接QE并延長交射線BC于點(diǎn)F．
（1）如圖2，當(dāng)BP=BA時(shí)，∠EBF=

 

°，猜想∠QFC=

 

°；
（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P為射線BC上任意一點(diǎn)時(shí)，猜想∠QFC的度數(shù)，并加以證明；
（3）已知線段AB=2

3

，設(shè)BP=x，點(diǎn)Q到射線BC的距離為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）∠EBF與∠ABE互余，而∠ABE=60°，即可求得∠EBF的度數(shù)；利用觀察法，或量角器測量的方法即可求得∠QFC的度數(shù)；
（2）根據(jù)三角形的外角等于不相鄰的兩內(nèi)角的和，證明∠BAP=∠EAQ，進(jìn)而得到△ABP≌△AEQ，證得∠AEQ=∠ABP=90°，則∠BEF=180°-∠AEQ-∠AEB=180°-90°-60°=30°，∠QFC=∠EBF+∠BEF；
（3）過點(diǎn)F作FG⊥BE于點(diǎn)G，過點(diǎn)Q作QH⊥BC，根據(jù)△ABP≌△AEQ得到：設(shè)QE=BP=x，則QF=QE+EF=x+2．點(diǎn)Q到射線BC的距離y=QH=sin60°×QF=

3

2

（x+2），即可求得函數(shù)關(guān)系式．

解答：證明：（1）∵∠ABC=90°，∠BAE=60°，
∴∠EBF=30°；（1分）
則猜想：∠QFC=60°；（2分）

（2）∠QFC=60°．                      （1分）
∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP，∠EAQ=∠QAP+∠EAP=60°+∠EAP，
∴∠BAP=∠EAQ
在△ABP和△AEQ中，

AB=AE ∠BAP=∠EAQ AP=AQ

，
∴△ABP≌△AEQ （SAS）　
∴∠AEQ=∠ABP=90°
∴∠BEF=180°-∠AEQ-∠AEB=180°-90°-60°=30°，
∴∠QFC=∠EBF+∠BEF=30°+30°=60；

（3）在圖1中，過點(diǎn)F作FG⊥BE于點(diǎn)G．
∵△ABE是等邊三角形，
∴BE=AB=2

3

．
由（1）得∠EBF=30°．
又∵∠QFC=60°
∴∠EBF=∠BEF，
∴BF=EF，
∵FG⊥BE
∴BG=

BE

2

=

3

，
∴BF=

BG

cos30°

=2．
∴EF=2．                                       （1分）
∵在Rt△ABP和Rt△AEQ中，

AQ=AP AB=AE

∴△ABP≌△AEQ．
設(shè)QE=BP=x，
則QF=QE+EF=x+2．                               （2分）
過點(diǎn)Q作QH⊥BC，垂足為H．
在Rt△QHF中，y=QH=sin60°×QF=

3

2

（x+2）．（x＞0）
即y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是：y=

3

2

x+

3

．            （3分）

點(diǎn)評：本題把圖形的旋轉(zhuǎn)，與三角形的全等，三角函數(shù)，以及函數(shù)相結(jié)合，是一個(gè)比較難的題目．