Question

【題目】如圖，AB是半圓O的直徑，以AB為邊在半圓同側(cè)作正方形ABCD，點P是CD中點，BP與半圓交于點Q，連接DQ，設(shè)半圓的半徑為a．

（1）判斷直線DQ與半圓O的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）求sin∠DQP的值．

Answer 1

【答案】（1）DQ是半圓的切線，理由見解析；（2）.

【解析】

（1）連接OQ，OD，得出四邊形DOBP是平行四邊形，證得△AOD≌△QOD，求得∠OQD＝∠OAD＝90°，得到OQ⊥DQ，即可得證；（2）求得∠DQP＝∠ODQ，OD＝=，利用sin∠DQP＝sin∠ODQ＝即可求解.

解：（1）DC和半圓O相切

連接OQ，OD，如圖

∵DP∥OB，DP＝OB

∴四邊形DOBP是平行四邊形

∴DO∥BP

∴∠AOD＝∠OBP，∠DOQ＝∠OQB

∵OB＝OQ

∴∠OBP＝∠OQB

∴∠AOD＝∠QOD

∴△AOD≌△QOD（SAS）

∴∠OQD＝∠OAD＝90°

∴OQ⊥DQ即DQ是半圓的切線

（2）由①可知，DO∥BP

∴∠DQP＝∠ODQ

∵DQ＝AD＝2a，OQ＝a

∴∠DQP＝∠ODQ

∵DQ＝AD＝2a，OQ＝a

∴OD＝=

∴sin∠DQP＝sin∠ODQ＝