Question

如圖，A、P、B、C是⊙O上的四點，∠APC=∠CPB=60°．
（1）求證：△ABC是等邊三角形；
（2）已知△ABC的邊長為4cm，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）可通過證明三角形的內(nèi)角都是60°來得出結(jié)論，思路是通過等弧所對的圓周角相等來得出三角形內(nèi)的其中兩個內(nèi)角為60°來證得．
（2）可通過構(gòu)建直角三角形來求解，連接AO延長AO交BC于D，然后用半徑表示出OD，OB，在直角三角形OBD中用勾股定理來求出半徑的長．

解答：（1）證明：∵∠APC=∠ABC，∠CPB=∠BAC，
又∵∠APC=∠CPB=60°，
∴∠ABC=∠BAC=60°．
∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°．
∴△ABC是等邊三角形．

（2）解：連接AO并延長其交BC于D，那么AD⊥BC，連接OB．
∵AD⊥BC，AB=AC
∴∠BAD=

1

2

∠BAC=30°
∴在直角三角形ABD中，AB=4，BD=2
根據(jù)勾股定理AD=2

3

．
直角三角形OBD中，OD=AD-OA=AD-OB=2

3

-OB，BD=2，
根據(jù)勾股定理可得：OB²=BD²+OD²
即OB²=（2

3

-OB）²+4．
解得：OB=

4 3

3

．
因此⊙O的半徑是

4 3

3

cm．

點評：本題考查了圓周角定理，垂徑定理等綜合知識的應(yīng)用，根據(jù)圓周角定理得出等邊三角形是本題解題的關(guān)鍵．