Question

（2013•常州模擬）（1）請在一個3×2的矩形網(wǎng)格里（每個小正方形的邊長都是1），畫出一個以格點為頂點的等腰直角三角形，使其直角邊長為

5

，并適當加以文字說明．
（2）借助上述圖形，解釋下列結論：
若α與β為銳角，且tanα=

1

2

，tanβ=

1

3

，則α+β=45°．
（3）構造幾何圖形，解釋下列結論：
若α與β為銳角，且tanα=

b

a

，tanβ=

a-b

a+b

，其中a＞b＞0，則α+β=45°．

Answer 1

分析：（1）利用勾股定理得出符合題意的三角形即可；
（2）利用（1）等腰直角三角形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的性質(zhì)得出即可；
（3）先畫直角△ABP，使AB=a，BP=b，∠B=90°．再在BP的延長線上取點C，使PC=a，然后補全圖形ABCD，
在邊CD上取點Q，使CQ=b．連結AQ，則QD=a-b，AD=a+b，進而利用全等三角形的性質(zhì)求出即可．

解答：解：（1）如圖，BC=CA=

5

，AB=

10

，∠BCA=90°，
△ABC為等腰直角三角形．

（2）在上圖中，令∠DBC=α，∠ABF=β，則tanα=

1

2

，tanβ=

1

3

，
∵∠DBF=90°，∠ABC=45°∴∠DBC+∠ABF=45°，
即α+β=45°，從而結論得以解釋．

（3），
如圖，先畫直角△ABP，使AB=a，BP=b，∠B=90°．
再在BP的延長線上取點C，使PC=a，然后補全圖形ABCD，
在邊CD上取點Q，使CQ=b．連結AQ，則QD=a-b，AD=a+b．
∵tanα=

b

a

，tanβ=

a-b

a+b

，
∴∠BAP=α，∠DAQ=β，
∵△ABP≌△PCQ，
∴△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ=45°，
∴∠BAP+∠DAQ=45°，
即α+β=45°．

點評：此題主要考查了應用與設計作圖以及銳角三角函數(shù)的性質(zhì)等知識，利用數(shù)形結合得出是解題關鍵．