Question

如圖，等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，PE⊥AB，PF⊥AC，PD⊥BC，垂足分別為E，F(xiàn)，D，且AH⊥BC于H，試用三角形面積公式證明：PE+PF+PD=AH．

Answer 1

分析：本題可通過三角形的面積來求證，連接AP，BP，CP后，分別表示出三角形APB，BPC，APC和三角形ABC的面積，根據(jù)三角形ABC的面積等于這三個(gè)小三角形的面積和，我們將三個(gè)三角形的面積表達(dá)式相加后就會(huì)得出PE+PF+PD=AH．

解答：證明：連接AP，BP，CP，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，PD⊥BC，AH⊥BC于H，
∴S_△ABC=

1

2

BC•AH，S_△APB=

1

2

AB•PE，S_△APC=

1

2

AC•PF，S_△BPC=

1

2

BC•PD
∵S_△ABC=S_△APB+S_△APC+S_△BPC
∴

1

2

BC•AH=

1

2

AB•PE+

1

2

AC•PF+

1

2

BC•PD，且AB=BC=AC，
即PE+PF+PD=AH．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)及三角形的面積等知識(shí)；本題直接找線段間的關(guān)系不容易得出結(jié)論，但是通過分割面積法就容易證得，所以解題時(shí)思路要開闊，面積法求線段的關(guān)系是很重要的方法，注意掌握．