Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=1，點D是斜邊上一點，且AD=4BD．

(1)求tan∠BCD的值；

(2)過點B的⊙O與邊AC相切，切點為AC的中點E，⊙O與直線BC的另一個交點為F．

(ⅰ)求⊙O的半徑；

(ⅱ) 連接AF，試探究AF與CD的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

【答案】(1)tan∠BCD=；(2)(ⅰ)；(ⅱ) AF與CD的位置關(guān)系是AF⊥CD，理由見解析．

【解析】

(1)作DM⊥BC，得到△DMB∽△ACB，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例結(jié)合AD=4BD，AC=3，BC=1，即可求得tan∠DCM的值；

(2)(ⅰ)連接OE，OF，作OH⊥BE，證得OHCE為矩形，設(shè)⊙O的半徑為，得到OF=OE=CH=，OH=CE=，HF=BH=CH-BC=，在Rt△OHF中，利用勾股定理即可得解；

(ⅱ)延長CD交AF于點K，由(ⅰ)知CF，求得tan∠CAF，由于tan∠BCD=，得到∠CAF=∠BCD，從而得到AF與CD的位置關(guān)系是AF⊥CD．

(1)如圖，過D作DM⊥BC，垂足M．

∵∠ACB=90°，

∴DM∥AC．

∴△DMB∽△ACB．

∵AD=4BD，AC=3，BC=1，

∴，即，

∴，，則，

∴在Rt△DMC中，tan∠DCM=，

(2)(ⅰ) 如圖，連接OE，OF，

∵⊙O與AC相切于AC中點E，

∴OE⊥AC．

作OH⊥BE，垂足為H，

∵∠ACB=90°，

∴OHCE為矩形．

設(shè)⊙O的半徑為，則OF=OE=CH=．

OH=CE=AC=，HF=BH=CH-BC=．

∴在Rt△OHF中，，

∴，

解得：r=；

(2)(ⅱ) AF與CD的位置關(guān)系是AF⊥CD，

理由如下：

如圖，延長CD交AF于點K，

由(ⅰ)知，CF=BC＋BF=1+2，

在Rt△ACF中，∠ACB=90°，

∴tan∠CAF=，

∵tan∠BCD=，

∴∠CAF=∠BCD，即∠CAF=∠FCK，

∵∠CAF+∠F=90°，

∴∠FCK+∠F=90°，

即AF⊥CD．