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        1. 已知:如圖,圓內(nèi)接四邊形ABCD的兩邊AB,DC的延長線相交于點E,DF經(jīng)過⊙O的圓心,交AB于點F,AB=BE,連接AC,且OD=3,F(xiàn)A=FB=數(shù)學公式
          (1)求證:△DAC∽△DEA;
          (2)求出DA,AC的長度.

          解:(1)∵DF過圓心,且AF=BF,
          ∴DF⊥AB,=,
          ∴∠ACD=∠EAD,又∠ADC=∠EDA,
          ∴△DAC∽△DEA;

          (2)連接OA,如圖所示:
          ∵DF⊥AB,
          ∴∠AFD=∠DFE=90°,
          在Rt△AOF中,OA=OD=3,AF=,
          根據(jù)勾股定理得:OF==2,
          ∴DF=OD+OF=3+2=5,
          在Rt△ADF中,AF=,DF=5,
          根據(jù)勾股定理得:AD==,
          又EF=FB+BE=FB+AB=3
          在Rt△DEF中,根據(jù)勾股定理得:DE==
          ∴AE=AF+EF=4,
          ∵△DAC∽△DEA,
          =,即=
          則AC=
          分析:(1)由DF過圓心,且AF=BF,利用垂徑定理的逆定理得到DF垂直于AB,且D為優(yōu)弧ADB的中點,得到兩條弧相等,根據(jù)等弧所對的圓周角相等可得出一對角相等,再由一對公共角相等,利用兩對對應角相等的兩三角形相似可得出三角形DAC與三角形DEA相似;
          (2)連接OA,由第一問得出DF與AB垂直,得到三角形AOF為直角三角形,根據(jù)OA及AF的長,利用勾股定理求出OF的長,再由DF=OD+OF求出DF的長,在直角三角形ADF中,由AF及DF的長,利用勾股定理即可求出AD的長;由AB=BE=2AF=2BF,根據(jù)FB的長求出EF的長,在直角三角形DEF中,由DF及EF的長,利用勾股定理求出DE的長,同時根據(jù)AF+EF=AE求出AE的長,由第一問的相似三角形,根據(jù)相似的性質(zhì)得出比例式,將各自的值代入即可求出AC的長.
          點評:此題考查了垂徑定理,勾股定理,圓周角定理,以及相似三角形的判定與性質(zhì),垂徑定理的內(nèi)容為:垂直于弦的直徑平分于弦,且平分弦所對的弧,熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵.
          練習冊系列答案
          相關(guān)習題

          科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

          我們學過圓內(nèi)接三角形,同樣,四個頂點在圓上的四邊形是圓內(nèi)接四邊形,下面我們來研究它的性質(zhì).
          (I)如圖(1),連接AO、OC,則有∠B=
          1
          2
          ∠1
          ,∠D=
          1
          2
          ∠2
          .∵∠1+∠2=360°∴∠B+∠D=
          1
          2
          ×360°=180°
          ,同理∠BAD+∠BCD=180°,即圓內(nèi)接四邊形對角(相對的兩個角)互補.
          (II)在圖(2)中,∠ECD是圓內(nèi)接四邊形ABCD的一個外角,請你探究外角∠DCE與它的相鄰內(nèi)角的對角(簡稱內(nèi)對角)∠A的關(guān)系,并證明∠DCE與∠A的關(guān)系.
          (III)應用:請你應用上述性質(zhì)解答下題:如圖(3)已知ABCD是圓內(nèi)接四邊形,F(xiàn)、E分別為BD、AD延長線上的點,如果DE平分
          ∠FDC,求證:AB=AC.

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          科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題

          我們學過圓內(nèi)接三角形,同樣,四個頂點在圓上的四邊形是圓內(nèi)接四邊形,下面我們來研究它的性質(zhì).
          (I)如圖(1),連接AO、OC,則有數(shù)學公式數(shù)學公式.∵∠1+∠2=360°∴數(shù)學公式,同理∠BAD+∠BCD=180°,即圓內(nèi)接四邊形對角(相對的兩個角)互補.
          (II)在圖(2)中,∠ECD是圓內(nèi)接四邊形ABCD的一個外角,請你探究外角∠DCE與它的相鄰內(nèi)角的對角(簡稱內(nèi)對角)∠A的關(guān)系,并證明∠DCE與∠A的關(guān)系.
          (III)應用:請你應用上述性質(zhì)解答下題:如圖(3)已知ABCD是圓內(nèi)接四邊形,F(xiàn)、E分別為BD、AD延長線上的點,如果DE平分
          ∠FDC,求證:AB=AC.

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