Question

如圖，已知A、B兩村分別距公路l的距離AA’=10km，BB’=40km，且A’B’=50km．在公路l上建一中轉(zhuǎn)站P使AP+BP的最小，則AP+BP的最小值為

1. A.
   100km
2. B.
   80km
3. C.
   60km
4. D.
   km

Answer 1

D
分析：作A關(guān)于直線(xiàn)A′B′的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C，連接BC，延長(zhǎng)BB′，根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短可知AP+BP的最小值即為BC的長(zhǎng)，過(guò)C作BB′的垂線(xiàn)交直線(xiàn)BB′于D，根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可求出A′C的長(zhǎng)，由矩形的判定定理可判斷出四邊形A′CDB′是矩形，在Rt△BCD中由勾股定理即可求解．
解答：解：作A關(guān)于直線(xiàn)A′B′的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C，連接BC，延長(zhǎng)BB′，
∵兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，
∴AP+BP的最小值即為BC的長(zhǎng)，
過(guò)C作BB′的垂線(xiàn)交直線(xiàn)BB′于D，
∵A、C關(guān)于直線(xiàn)A′B′對(duì)稱(chēng)，AA’=10km，
∴A’C=10km，
∵AA′⊥A′B′，BB′⊥A′B′，
∴A′C∥B′D，
∵BB′⊥A′B′，CD⊥BB′，
∴A′B′∥CD，
∴四邊形A′CDB′是矩形，
∴A′B′=CD=50km，BD=BB′+B′D=40+10=50km，
∴BC===50km．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是最短路線(xiàn)問(wèn)題、矩形的判定定理及勾股定理，熟知兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短是解答此題的關(guān)鍵．